Аналитическая иерархическая процедура саати. Применение метода анализа иерархий при оценке городских земель

Изложение алгоритма МАИ приведем, следуя и , для наглядности совместив формальное описание с примером.

2.1. Основные положения

Метод анализа иерархий является систематической процедурой для иерархического представления компонентов, определяющих суть любой проблемы . Метод состоит в декомпозиции проблемы на все более простые составляющие части и дальнейшей обработке последовательности суждений лица, принимающего решение (ЛПР), по парным сравнениям. В результате может быть выражена относительная степень взаимодействия элементов. Эти суждения затем выражаются численно. Метод анализа иерархии включает процедуры синтеза множественных суждений, выявления приоритетности критериев и нахождения альтернативных решений. Полученные таким образом значения являются оценками в шкале отношений и соответствуют некоторым численным оценкам.

Решение проблемы – это процедура поэтапного установления приоритетов. На первом этапе выявляются наиболее важные компоненты проблемы, на втором – наилучший способ проверки наблюдений, испытания и оценка альтернатив; на следующем этапе вырабатывается решение и оценивается его качество. Процесс может быть проведен также над последовательностью иерархий: в этом случае результаты, полученные в одной из них, используются в качестве входных данных при изучении следующей. Метод многокритериального отбора систематизирует процесс решения такой многоступенчатой задачи.

Основные принципы метода анализа иерархий

1. Принцип идентичности и декомпозиции . Предусматривает структурирование проблем в виде иерархии или сети.

2. Принцип сравнительный суждений (парных сравнений). Предполагает, что элементы задачи (альтернативы и критерии) сравниваются попарно с позиции их воздействия на общую характеристику.

3. Принцип синтеза приоритетов. Предполагает формирование набора локальных приоритетов, которые выражают относительное влияние множества элементов на элемент примыкающего сверху уровня.

2.2. Постановка задачи (пример)

Целью задачи является строительство аэропорта . Необходимо выбрать лучшую площадку для строительства аэропорта с точки зрения выделенных критериев. Комиссия по выбору постройки аэропорта предварительно отобрала из нескольких возможных три альтернативных варианта площадок – А1, А2, А3 . Было выявлено три основных критерия, влияющих на принятие решения о выборе площадки для строительства: 1 – стоимость строительства, 2 – время в пути от аэропорта до центра города, 3 – количество жителей, подвергающихся шумовым воздействиям. При решении задачи используется МАИ для поддержки процесса принятия решений.

2.3. Этапы маи

Этап 1. Построение иерархической структуры задачи многомерного выбора.

В общем случае простейшей трехуровневой иерархии структура имеет вид Рис.1.

Рис. 1. Обобщенна иерархическая структура проблемы

Этап 1. Структуризация.

Структуру решаемой задачи можно представить в виде иерархической структуры, показанной на Рис. 2.

Рис. 2. Иерархическая структура проблемы

Этап 2. Выполнение попарных экспертных сравнений элементов каждого уровня иерархий.

Рассмотрим элементы С 1 , С 2 , …, С n некоторого зафиксированного уровня иерархи. Мы хотим определить веса ѡ 1 , ѡ 2 , …,ѡ n влияния этих элементов на некоторый элемент вышестоящего уровня. Основным инструментом оценки влияния является матрица чисел по шкале отношений 1, …, 9 (табл. 1), представляющих суждения о парных сравнениях. Для представления приоритетов в МАИ выбран собственный вектор, принадлежащий наибольшему собственному значению указанной матрицы А . Обозначим через число (бал), соответствующее значимости (предпочтения) элементаС i по сравнению с элементом С j данного уровня иерархии по влиянию С i , С j на фиксированный элемент вышестоящего уровня (например К1 на Рис. 2):

Матрица А с содержательной точки зрения будет согласованной по оценкам при введении условия

С математической точки зрения это условие наделяет матрицу А свойством обратносимметричной матрицы. На главой диагонали матрицы А стоят 1.

Если оценки попарных сравнений известны точно, т.е. оценки основаны на экспериментальных измерениях, то

т.е. веса влияния элементов известны.

Например, если взвешиваются два предмета: С 1 =305,2 и С 2 =244,2, тогда отношение означает, что предметС 1 в 1,25 раз тяжелее предмета С 2 .

Для случая экспериментального измерения весов ѡ 1 , ѡ 2 , …,ѡ i ,…, ѡ n сравниваемых элементов на уровне иерархии согласованность считается полной , естественно, с точностью до погрешности измерительных приборов или расчетных методик. При экспертной оценке отношений (7) согласованность суждений и соответственно матрицы А будет не полной . Значит нужно разработать некоторую числовую меру отклонения согласованности матрицы А от идеальной (см. ниже формулу отношения согласованности (9)).

Теперь рассмотрим подробнее содержательный смысл требования согласованности в МАИ.

В МАИ под согласованностью суждений подразумевается не просто традиционное требование транзитивности предпочтений : если например, для индивидуума яблоки предпочтительнее апельсинов, а апельсины предпочтительнее бананов, то яблоки должны быть предпочтительнее бананов.

Схематически это можно записать так:

– знак предпочтения элемента в отношении двух элементов; ∩ – знак пересечения множеств (совместности).

В МАИ транзитивность наделяется количественными отношениями. Например, если яблоки в 2 раза предпочтительнее апельсин (по цене), а апельсины предпочтительнее бананов в 3 раза, то яблоки должны быть в 6 раз предпочтительнее бананов. Именно это автор МАИ Саати называет числовой (кардинальной) согласованностью предпочтений. Несогласованность означает отсутствие пропорциональности, которое может нарушить транзитивность.

МАИ не только показывает наличие несогласованности отдельных сравнений, но и дает численную оценку того, как сильно нарушена согласованность для всей рассматриваемой задачи.

Замечание. В простейшей версии МАИ считается, что элементы в каждой группе иерархии (называемой уровнем, кластером, стратой) независимы между собой, но все они влияют на каждый элемент другого (вышестоящего) уровня. Таким образом, общая задача многокритериального выбора сводится к задаче оценки влияния уровней иерархи (снизу-вверх либо сверху-вниз).

Теперь обратимся к расчетам для нашего примера.

Зафиксируем нижний (третий) уровень иерархи Рис. 2, содержащий элементы А1, А2, А3 альтернативных площадок для строительства аэропорта. Зафиксируем также один элемент К1 – стоимость строительства на уровне 2 иерархии.

Примечание: в МАИ можно формировать матрицу парных сравнений на основе любой шкалы отношений, применяемой для измеряемых свойств сравниваемых объектов. В этом случае экспертная оценка заменяется отношением двух соответствующих измерений. Новая шкала (собственный вектор), которая выводится из матрицы парных сравнений, содержащий оценки реальных измерений, будет эквивалентна той, которую можно получить путем нормирования соответствующих измерений.

Таблица 1

Шкала относительной важности

Матрица экспертных оценок влияния элементов А1, А2, А3 на элемент К1 второго уровня иерархии показана в таблице 2 (выделено темным цветом). В таблице 2 приведены также расчетные величины для определения максимального собственного значения и главного собственного вектораполученной матрицыА (алгоритм расчета этих величин описан в этапе 3 алгоритма в таблице 6).

Аналогично получены матрицы парных сравнений элементов А1, А2, А3 относительно критерия К2 (таблица 3) и критерия К3 (таблица 4).

Таблица 2

Матрица А С.1 парных сравнений альтернатив по первому критерию

Стоимость производства К1				W1



Сумма по столбцу СВ
λmax=3,44; ИС=0,22; ОС=0,379.

Таблица 3

Матрица А С.2 парных сравнений альтернатив по второму критерию

Стоимость производства К2	Компоненты собственного вектора W2	Нормализованные компоненты собственного вектора приоритетов



Сумма по столбцу СВ
λmax=3,04; ИС=0,22; ОС=0,03.

Таблица 4

Матрица А С.3 парных сравнений альтернатив по третьему критерию

Стоимость производства К3	Компоненты собственного вектора W3	Нормализованные компоненты собственного вектора приоритетов



Сумма по столбцу СВ
λmax=3,37; ИС=0,18; ОС=0,31.

Аналогично строиться матрица парных сравнений для второго уровня иерархий, элементами которого являются критерии К1, К2, К3 . Эта матрица показана в таблице 5 (выделено темным цветом).

Таблица 5

Матрица А С.4 парных сравнений критериев

	Компоненты собственного вектора W 4	Компоненты нормализованного собственного вектора приоритетов элементов второго уровня (критериев)




λmax=3,297; ИС=0,15; ОС=0,26.

Этап 3 . Определение вектора приоритетов.

В качестве вектора приоритетов для каждого уровня иерархии принят нормализованный главный собственный вектор матрицы попарных сравнений. Для расчета этих векторов используется приближенный метод 4 из оценки через средние геометрические.

Собственный вектор обеспечивает упорядочение приоритетов. Чем больше i -я компонента СВ, тем больше влияние i -го элемента в комплексе всех элементов анализируемого уровня иерархии на выделенный элемент С вышестоящего уровня.

Для нижнего уровня альтернатив (площадок для строительства А1, А2, А3 ) алгоритм расчета собственного вектора, относящийся к матрице парных сравнений из таблицы 2, показан в таблице 6. В таблице 2 показан также результат расчета – нормализованный собственный вектор .

Аналогично рассчитывается нормализованные собственные векторы для матриц парных сравнений А с.2 и А с.3 из таблиц 3 и 4.

Получены оценки: ;, которые отражены в таблицах 3 и 4.

Для второго уровня иерархии, включающего критерии К1, К2 и К3 , оценка нормализованного собственного вектора, характеризующие его приоритеты этого уровня по влиянию на единственный элемент верхнего (первого) уровня, т.е. цель выбора, производится по описанному выше алгоритму. Для матрицы парных сравнений А с.4 из таблицы 5, получены данные расчета: .

Таким образом, все векторы приоритетов для второго и третьего уровней иерархии получены.

Этап 4. Определение максимальных собственных значений и степени согласованности матриц парных сравнений.

Прежде чем перейти к синтезу оптимальной альтернативы с учетом всех элементов второго и третьего уровней иерархии, нужно убедиться в достаточном уровне согласованности всех матриц суждений А с.1 , А с.2 , А с.2 , А с.4 . Для этого нужно вычислить максимальные собственные значения этих матриц. В теории МАИ приводится следующий алгоритм расчета. Сначала суммируется каждый столбец суждений, затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов, сумма второго столбца – на вторую компоненту и т.д. Затем полученные числа суммируются:

где k – номер матрицы парных сравнений (суждений); – вектор-строка столбцовых сумм матрицы суждений с номеромk ; – нормализованный собственный главный вектор матрицы сужденийА с. k , принадлежащий наибольшему собственному значению .

Таблица 6

Матрица парных сравнений альтернатив по первому критерию К1

К1	А1	А2	А3	Компоненты собственного вектора	Компоненты нормализованного вектора приоритетов
А1
А2
А3
Сумма по столбцам

В (8) умножение производится по правилу скалярного произведения векторов.

Например, для матрицы суждений А с.1 из таблицы 2 получим:

Максимальные собственные значения всех матриц суждения ,,,приведены соответственно в таблицах 2, 3, 4 и 5.

Этап 5 . Определение индексов согласованности и отношений согласованности для матриц суждений.

В общем случае под согласованностью понимается то, что при наличии основного (базового) массива необработанных данных все другие данные логически могут быть получены из них. Или другими словами, отношения элементов всей матрицы А не должны быть противоречивыми.

Из теории МАИ известно, что идеальная согласованность положительной обратносимметричной матрицы эквивалентна требованию

Заметим, что всегда верно, поэтому

Тогда степень согласованности матрицы суждений можно оценить мерой, называемой индексом согласованности (ИС)

Знаменатель – это число всех возможных парных сравнений данного элементав фиксированной строкеi для квадратной матрицы n -го порядка.

Следовательно, ИС имеет смысл отклонения от абсолютной согласованности, приходящегося на одно парное сравнение.

Вводится критерий, называемый отношением согласованности (ОС):

где СС – индекс случайной согласованности (СС).

СС определяется путем задания оценок по шкале отношений для случайно выбранных суждений при парных сравнениях и соответствующих им обратных величин для матрицыА. Значения СС в теории МАИ заранее вычислены и представлены в таблице 7.

Таблица 7

Случайная согласованность для случайных матриц

Приемлемая величина ОС – порядка 10% или менее. Если ОС выходит из этих пределов, то ЛПР должно провести более глубокие исследования задачи и проверить свои суждения, т.е. назначение величин в матрице парных сравнений.

В качестве примера приведем оценки для матрицы суждений А с.1 из таблицы 2:

Величины значения индекса согласованности и отношений согласованности для матриц суждений А с.1 , А с.2 , А с.3 , А с.4 показаны соответственно в таблицах 2, 3, 4 и 5.

Замечание. Формально отношения согласованности ОС 1 =0,378 для матрицы А с.1 , ОС 3 =0,31 для матрицы А с.3 и ОС 4 =0,26 для матрицы А с.4 являются неприемлемыми, т.е. уровень их согласованности очень мал. Требуется, чтобы ОС было меньше 0,1. Однако исправление указанных матриц суждения, а значит и всей задачи мы делать не будем, поскольку рассматриваемая задача носит учебный характер.

Этап 6. Синтез приоритетов уровней.

В математической теории иерархий разработан метод оценки воздействия уровня на соседний вышестоящий уровень путем композиции соответствующего вклада (приоритетов) элементов данного уровня по отношении к каждому элементу соседнего верхнего уровня. Композиция распространяется снизу-вверх. В принципе, можно рассматривать также распространение композиции сверху-вниз.

Математически «композиция» отображается оператором умножения. Как известно , в математической логике операция умножения отображает совместное действие сомножителей.

Приоритеты синтезируются, начиная со второго уровня вниз. Локальные приоритеты (приоритеты альтернатив А 1 , А 2 , А 3 по каждому критерию) перемножаются на приоритет соответствующего критерия на вышестоящем уровне и суммируются по каждому элементу в соответствии критериями на которые воздействует этот элемент. Процедура продолжается до самого нижнего уровня. В формализованном виде процедура синтеза приоритетов имеет следующий вид.

Общий вектор приоритетов взаимного влияния уровня 3 альтернатив (А 1 , А 2 , А 3) и уровня 2 критериев (К1, К2, К3) на общую цель (уровень 1) равен:

где В – матрица компонент нормированных векторов приоритетов альтернатив первого снизу уровня (см. таблицы 2, 3 и 4); – нормированный вектор приоритета критериев второго уровня (таблица 5).

В (11) умножение производится по правилам умножения матрицы на вектор:

Для нашего примера:

Этап 7 . Выбор оптимально альтернативы.

Алгоритм оптимального выбора прост:

Таким образом, алгоритм оптимального многокритериального выбора приводит к выбору площадки А 1 для строительства аэропорта, так как ей соответствует наибольшее значение компоненты вектора общего приоритета

Достоинством метода анализа иерархий является направленность на сравнение реальных альтернатив. Метод может применятся в тех случаях, когда эксперты не могут дать абсолютной оценки альтернатив по критериям, а пользуются более слабыми сравнительными измерениями.

Метод анализа иерархий Пример задачи многокритериального выбора с простейшей иерархией.

Метод Анализа Иерархий (МАИ) - математический инструмент системного подхода к сложным проблемам принятия решений. МАИ не предписывает лицу, принимающему решение (ЛПР), какого-либо «правильного» решения, а позволяет ему в интерактивном режиме найти такой вариант (альтернативу), который наилучшим образом согласуется с его пониманием сути проблемы и требованиями к ее решению. Этот метод разработан американским математиком Томасом Саати, который написал о нем книги, разработал программные продукты и в течение 20 лет проводит симпозиумы ISAHP (англ. International Symposium on Analytic Hierarchy Process ). МАИ широко используется на практике и активно развивается учеными всего мира. В его основе наряду с математикой заложены и психологические аспекты. МАИ позволяет понятным и рациональным образом структурировать сложную проблему принятия решений в виде иерархии, сравнить и выполнить количественную оценку альтернативных вариантов решения. Метод Анализа Иерархий используется во всем мире для принятия решений в разнообразных ситуациях: от управления на межгосударственном уровне до решения отраслевых и частных проблем в бизнесе , промышленности , здравоохранении и образовании . Для компьютерной поддержки МАИ существуют программные продукты, разработанные различными компаниями. Анализ проблемы принятия решений в МАИ начинается с построения иерархической структуры, которая включает цель, критерии, альтернативы и другие рассматриваемые факторы, влияющие на выбор. Эта структура отражает понимание проблемы лицом, принимающим решение. Каждый элемент иерархии может представлять различные аспекты решаемой задачи, причем во внимание могут быть приняты как материальные, так и нематериальные факторы, измеряемые количественные параметры и качественные характеристики, объективные данные и субъективные экспертные оценки . Иными словами, анализ ситуации выбора решения в МАИ напоминает процедуры и методы аргументации, которые используются на интуитивном уровне. Следующим этапом анализа является определение приоритетов, представляющих относительную важность или предпочтительность элементов построенной иерархической структуры, с помощью процедуры парных сравнений. Безразмерные приоритеты позволяют обоснованно сравнивать разнородные факторы, что является отличительной особенностью МАИ. На заключительном этапе анализа выполняется синтез (линейная свертка) приоритетов на иерархии, в результате которой вычисляются приоритеты альтернативных решений относительно главной цели. Лучшей считается альтернатива с максимальным значением приоритета.

Пример задачи многокритериального выбора с простейшей иерархией

В данной задаче необходимо выбрать из трех кандидатов одного на должность руководителя. Кандидаты оцениваются по критериям: возраст, опыт, образование и личные качества. На рисунке показана иерархия для этой задачи. Простейшая иерархия содержит три уровня: цель, критерии и альтернативы. Числа на рисунке показывают приоритеты элементов иерархии с точки зрения цели, которые вычисляются в МАИ на основе парных сравнений элементов каждого уровня относительно связанных с ними элементами вышерасположенного уровня. Приоритеты альтернатив относительно цели (глобальные приоритеты) вычисляются на заключительном этапе метода путем линейной свертки локальных приоритетов всех элементов. В данном примере лучшим кандидатом является Дик, так как имеет максимальное значение глобального приоритета.

Сфера образования и научных исследований

Хотя для практического применения МАИ отсутствует необходимость специальной подготовки, основы метода преподают во многих учебных заведениях . Кроме того, этот метод широко применяется в сфере управления качеством и читается в рамках многих специализированных программ, таких как Six Sigma, Lean Six Sigma, и QFD . Около ста китайских университетов предлагают курсы по основам МАИ, и многие соискатели научных степеней выбирают МАИ в качестве объекта научных и диссертационных исследований. Опубликовано более 900 научных статей по данной тематике. Существует китайский научный журнал, специализирующийся в области МАИ . Раз в два года проводится Международный симпозиум, посвященный МАИ (International Symposium on Analytic Hierarchy Process, ISAHP), на котором встречаются как ученые, так и практики, работающие с МАИ. В 2007 году симпозиум проходил в Вальпараисо, Чили, где было представлено более 90 докладов ученых из 19 стран, включая США, Германию, Японию, Чили, Малайзию, и Непал .

Устройство для удаленного ввода и обработки оценок

Методика применения МАИ

Метод анализа иерархий содержит процедуру синтеза приоритетов, вычисляемых на основе субъективных суждений экспертов. Число суждений может измеряться дюжинами или даже сотнями. Математические вычисления для задач небольшой размерности можно выполнить вручную или с помощью калькулятора, однако гораздо удобнее использовать программное обеспечение (ПО) для ввода и обработки суждений. Самый простой способ компьютерной поддержки - электронные таблицы, самое развитое ПО предусматривает применение специальных устройств для ввода суждений участниками процесса коллективного выбора. Порядок применения Метода Анализа Иерархий:

Рассмотрим эти шаги подробнее.

Моделирование проблемы в виде иерархии

Первый шаг МАИ - построение иерархической структуры, объединяющей цель выбора, критерии, альтернативы и другие факторы, влияющие на выбор решения. Построение такой структуры помогает проанализировать все аспекты проблемы и глубже вникнуть в суть задачи.

Определение иерархической структуры

Иерархическая структура - это графическое представление проблемы в виде перевернутого дерева, где каждый элемент, за исключением самого верхнего, зависит от одного или более выше расположенных элементов. Часто в различных организациях распределение полномочий, руководство и эффективные коммуникации между сотрудниками организованы в иерархической форме.

Иерархические структуры используются для лучшего понимания сложной реальности: мы раскладываем исследуемую проблему на составные части; затем разбиваем на составные части получившиеся элементы и т. д. На каждом шаге важно фокусировать внимание на понимании текущего элемента, временно абстрагируясь от всех прочих компонентов. При проведении подобного анализа приходит понимание всей сложности и многогранности исследуемого предмета.

В качестве примера можно привести иерархическую структуру, которая используется при обучении в медицинских вузах . В рамках изучения анатомии отдельно рассматривается костно-мышечная система (которая включает такие элементы, как руки и их составляющие: мышцы и кости), сердечнососудистая система (и ее множественные уровни), нервная система (и ее компоненты и подсистемы) и т. д. Степень детализации доходит до клеточного и молекулярного уровня. В конце изучения приходит понимание системы организма в целом, а также осознание того, какую роль играет в нем занимает каждая часть. С помощью подобного иерархического структурирования студенты приобретают всесторонние знания об анатомии.

Аналогичным образом, когда мы решаем сложную проблему, мы можем использовать иерархию как инструмент для обработки и восприятия больших объемов информации. По мере проектирования этой структуры у нас формируется все более полное понимание проблемы .

Простейшая иерархия МАИ. Чтобы избежать беспорядка в диаграммах МАИ, связи, соединяющие Альтернативы и их покрывающие Критерии, часто опускаются, или их количество искусственно уменьшается. Несмотря на такие упрощения в диаграмме, в самой иерархии каждая Альтернатива связана с каждым из покрывающих ее Критериев.

Объяснение иерархических структур, используемых в МАИ

Иерархические структуры, используемые в МАИ, представляет собой инструмент для качественного моделирования сложных проблем. Вершиной иерархии является главная цель; элементы нижнего уровня представляют множество вариантов достижения цели (альтернатив); элементы промежуточных уровней соответствуют критериям или факторам, которые связывают цель с альтернативами. Существуют специальные термины для описания иерархической структуры МАИ. Каждый уровень состоит из узлов. Элементы, исходящие из узла, принято называть его детьми (дочерними элементами). Элементы, из которых исходит узел, называются родительскими. Группы элементов, имеющие один и тот же родительский элемент, называются группами сравнения. Родительские элементы Альтернатив, как правило, исходящие из различных групп сравнения, называются покрывающими Критериями. Используя эти термины для описания представленной ниже диаграммы, можно сказать, что четыре Критерия - это дети Цели; в свою очередь, Цель - это родительский элемент для любого из Критериев. Каждая Альтернатива - это дочерний элемент каждого из включающих ее Критериев. Всего на диаграмме присутствует две группы сравнения: группа, состоящая из четырех Критериев и группа, включающая три Альтернативы. Вид любой иерархии МАИ будет зависеть не только от объективного характера рассматриваемой проблемы, но и от знаний, суждений, системы ценностей, мнений, желаний и т. п. участников процесса. Опубликованные описания применений МАИ часто включают в себя различные схемы и объяснения представленных иерархий . Последовательное выполнение всех шагов МАИ предусматривает возможность изменения структуры иерархии, с целью включения в неё вновь появившихся, или ранее не считавшихся важными, Критериев и Альтернатив .

Расстановка приоритетов

После построения иерархии участники процесса используют МАИ для определения приоритетов всех узлов структуры. Информация для расстановки приоритетов собирается со всех участников и математически обрабатывается. В данном разделе приведена информация, на простом примере поясняющая процесс вычисления приоритетов.

Определение приоритетов и пояснения

Приоритеты - это числа, которые связаны с узлами иерархии. Они представляют собой относительные веса элементов в каждой группе. Подобно вероятностям, приоритеты - безразмерные величины, которые могут принимать значения от нуля до единицы. Чем больше величина приоритета, тем более значимым является соответствующий ему элемент. Сумма приоритетов элементов, подчиненных одному элементу выше лежащего уровня иерархии, равна единице. Приоритет цели по определению равен 1.0. Рассмотрим простой пример, поясняющий методику вычисления приоритетов.

Простейшая иерархическая структура МАИ с приоритетами, определенными по умолчанию.

На рисунке показана иерархия, в которой приоритеты всех элементов не устанавливались ЛПР. В таком случае по умолчанию приоритеты элементов считаются одинаковыми, то есть все четыре критерия имеют равную важность с точки зрения цели, а приоритеты всех альтернатив равны по всем критериями. Другими словами, альтернативы в этом примере неразличимы. Заметим, что сумма приоритетов элементов любого уровня, равна единице. Если бы альтернатив было две, то их приоритеты были бы равны 0.500, если бы критериев было 5, то приоритет каждого был бы равен 0.200. В этом простом примере приоритеты альтернатив по разным критериям могут не совпадать, что обычно и бывает на практике. Приведем пример, в котором локальные приоритеты альтернатив по разным критериям не совпадают. Глобальные приоритеты альтернатив относительно цели вычисляются путем умножения локального приоритета каждой альтернативы на приоритет каждого критерия и суммирования по всем критериям.

Более сложная иерархическая структура, содержащая глобальные и локальные значения приоритетов по умолчанию.

Если приоритеты критериев изменятся, то изменятся значения глобальных приоритетов альтернатив, следовательно, может измениться их порядок. На рисунке показано решение данной задачи с изменившимися значениями приоритетов критериев, при этом наиболее предпочтительной альтернативой становится A3.

Графические оболочки

Tutorial

Это 4-я статья цикла по разработке, управляемой моделями. В предыдущих статьях мы познакомились с , и . Сегодня научимся описывать метамодели в текстовой нотации (а не в виде диаграмм как раньше) и познакомимся с табличным представлением моделей в Sirius. Сделаем это на примере кризиса среднего возраста и метода анализа иерархий. Возможно, это пригодится вам при разработке ИИ в играх, при принятии решений или в работе.

Введение

Вообще, я планировал статью про разработку DSL и преобразование моделей. Но мои планы внезапно нарушили мысли о смысле жизни, о том, тем ли я вообще занимаюсь.

Самое очевидное, что может при этом сделать специалист по разработке, управляемой моделями, это

Выбрать метод, который позволит получить интересующие ответы (раздел 1)
Создать метамодель под этот метод (раздел 2)
Создать инструмент разработки моделей в соответствии с метамоделью (раздел 3)
Создать модель (раздел 4)
Profit

Именно этим мы и займемся.

1 Метод анализа иерархий

Меня интересовали следующие вопросы:

Чем мне интересно заниматься?
Достаточно ли времени я уделяю интересным вещам?
Что можно изменить в жизни к лучшему?
Не станет ли от этих изменений хуже?

Когда я учился в вузе, для получения ответов на разные вопросы мы использовали метод анализа иерархий . Суть метода следующая.

Вы определяете
- цель,
- критерии достижения цели и
- возможные альтернативы.
Оцениваете значимость критериев.
Оцениваете альтернативы по каждому из критериев.
Рассчитываете приоритеты альтернатив.
Принимаете решение.

Более подробно этот метод описан в книге Томаса Саати «Принятие решений. Метод анализа иерархий» (она легко гуглится). Кстати, в ней много примеров от психологии до мировой экономики.

1.1 Построение иерархии

Итак, в простейшем случае иерархия должна содержать цель, критерии и альтернативы.

Если суммировать все мои вопросы, то, по большому счету, меня интересует стоит ли мне сменить работу. Поэтому цель: выбрать работу .

При выборе работы меня интересует

сколько денег я буду зарабатывать,
на сколько интересно мне будет этим заниматься,
будет ли у меня время на жизнь,
карьерные перспективы,
смогу ли я бывать на природе или буду видеть солнце и деревья раз в год,
на сколько близка мне культура коллег, соседей и остальных людей.

При этом возможны следующие альтернативы:

ничего не менять,
переехать в Москву,
переехать за границу,
заняться фрилансом или каким-нибудь предпринимательством.

В соответствии с методом анализа иерархий строится следующая иерархия:

1.2 Оценка критериев

У разных людей при принятии решений могут быть примерно одинаковые критерии. Однако, их значимость может сильно различаться. Кто-то работает в большей степени ради денег, кто-то ради интереса, кому-то просто нравится общаться с коллегами и т.д.

В соответствии со своими приоритетами один человек не раздумывая выберет более денежную работу, а другой – более интересную. Не существует работы, которая по всем критериям подходит абсолютно всем.

Наверное, при принятии решений большинство людей в явной или неявной форме ранжируют критерии от самого значимого до самого незначительного. Последние отбрасывают, а по первым сравнивают возможные альтернативы. На каждую возможную работу они навешивают ярлычок: вот, эта работа более денежная, но не интересная, а эта интересная и коллектив там хороший, но сомнительные карьерные перспективы и т.д.

Если сходу не получается сделать выбор, то человек начинает переоценивать критерии: может быть интерес пока не так важен и в пробке можно лишние два часа постоять, зато там больше зарплата, вот, выплачу ипотеку и займусь чем-то интересным.

Подобные рассуждения могут продолжаться долго, мучительно и без гарантии, что в итоге действительно будет принято оптимальное решение.

В методе анализа иерархий предлагается формальный алгоритм принятия подобных решений: все критерии попарно сравниваются друг с другом по шкале от 1 до 9.

Например, что для меня важнее: интерес или деньги? Интерес важнее, но не сказать, что очень сильно. Если максимальная оценка 9 к 1, то для себя я оцениваю приоритеты как 5 к 1.

Или, например, что важнее: деньги или наличие времени для жизни, хобби? Готов ли я ради дополнительных денег работать в выходные или стоять по два часа в пробках? Я для себя оцениваю значимость этих критериев как 1 к 7.

В итоге заполняется подобная таблица:

Очевидно, что по диагонали всегда будут единицы. Также очевидно, что все оценки будут обратно-симметричны относительно главной диагонали. Например, если я оцениваю значимость «интерес-деньги» как 5 к 1, то значимость «деньги-интерес» будет 1 к 5. Иногда такие матрицы называют обратно-симметричными.

В общем случае, если мы сравниваем N критериев, то необходимо сделать (N*(N-1))/2 сравнений. Казалось бы, всё только усложнилось. Если изначально было 6 критериев, то сейчас целая матрица каких-то чисел. Чтобы снова вернуться к критериям, рассчитаем собственный вектор матрицы. Элементы этого вектора и будут относительной значимостью каждого критерия.

В книге Томаса Саати предлагается несколько упрощенных методов расчета собственного вектора в уме или на бумаге. Мы воспользуемся более точным итеративным алгоритмом :

N = количество критериев m = матрица оценок размерностью NxN eigenvector = вектор размерностью N, заполненный значениями 1/N Повторяем пока eigenvalue не начнет сходиться к определенному значению или пока не сделаем максимально допустимое количество итераций x = m * eigenvector eigenvalue = sum(x) eigenvector = x / eigenvalue
В итоге получаем следующий вектор:
Наиболее значимый критерий – время (0,3846), наименее значимый – карьера (0,0555).

При парных сравнениях некоторые оценки могут получиться несогласованными. Например, для меня интерес важнее денег, а деньги важнее карьеры. Очевидно, что интерес должен быть существенно важнее карьеры. В данной таблице так и есть. Но если бы оценка для «интерес-карьера» была меньшей или вообще обратной, то мои оценки были бы не согласованы между собой.

Оценить меру этой несогласованности поможет собственное значение матрицы сравнений. Оно равно 6,7048.

Очевидно, что собственное значение пропорционально количеству критериев. Чтобы оценка согласованности не зависела от количества критериев, рассчитывается так называемый индекс согласованности = (собственное значение - N) / (N - 1).

Наконец, чтобы оценка была совсем объективной необходимо разделить данный индекс на усредненный индекс согласованности для случайных матриц. Если полученная величина (отношение согласованности) меньше 0,1000, то парные сравнения можно считать более-менее согласованными. В нашем примере оно равно 0,1137, это значит, что рассчитанным приоритетам можно более-менее доверять.

1.3 Оценка альтернатив

Теперь необходимо сравнить все альтернативы по каждому из критериев.

Например, при переезде в Москву я существенно выиграю в зарплате. Но работа, скорее всего, будет менее интересная, а также будет оставаться меньше времени для жизни. Или при переезде за границу мне придется отказаться от своего языка, подстраиваться под чужие культурные ценности.

По каждому критерию рассчитывается собственный вектор и отношение согласованности.

Полученные собственные векторы записаны в столбцах:

Отношения согласованности по каждому критерию записаны в следующем векторе:
[ 0,0337; 0,0211; 0,1012; 0,1399; 0,1270; 0,9507 ]
Большинство значений меньше или незначительно превышают 0,1000. Однако для критерия «культура» отношение согласованности получилось очень большое. Это связано с тем, что я неправильно расставил часть оценок. Хотел поставить 7 для «ничего не менять – переехать за границу», потому что жить в родном городе гораздо комфортнее. Но по ошибке поставил 1/7.

1.4 Определение приоритетов альтернатив

Итак, мы оценили критерии, навесили на каждую альтернативу ярлычок: какой вариант более денежный, какой более интересный и т.д. Теперь необходимо оценить альтернативы по всем критериям в сумме. Для этого достаточно умножить матрицу

На вектор
[ 0,0592; 0,2323; 0,3846; 0,0555; 0,1220; 0,1462 ]
В итоге мы получим следующий вектор:
[ 0,3184; 0,1227; 0,2049; 0,3540 ]
Это и есть значимости альтернатив относительно достижения цели.

1.5 Принятие решения

Теперь изобразим все рассчитанные значения на следующем рисунке:

В скобках указано отношение согласованности оценок.

Толщина линий пропорциональна приоритетам. Наиболее интересна и перспективна в плане карьеры текущая работа. Фриланс позволил бы больше бывать на природе и больше времени тратить на жизнь. Более денежная работа в Москве и заграницей.

Видно, что Москва совсем отпадает. Заграница чуть лучше, но тоже не очень. Ничего не менять и фриланс примерно на одном уровне.

2 Создание метамодели

Теперь опишем как всё это рисуется и считается.

Сначала необходимо описать метамодель: виды сущностей, которые используются в методе анализа иерархий. Причем, в отличие от мы не будем рисовать метамодель в виде диаграммы, а опишем её в текстовой нотации Xcore.

Остановимся только на самых интересных вещах. Xcore в отличие от Ecore позволяет описывать не только структуру модели, но и некоторую логику на Java-подобном языке. Опишем, например, тип данных для хранения оценок. Положительные оценки будем хранить в виде положительных целых чисел. А обратные оценки вида 1/n будем хранить как -n. Мы могли бы хранить оценки в виде строк или в виде действительных чисел, но, наверное, это плохая идея.

При этом нам нужны две функции для преобразования оценок из или в строковое представление. На Xcore это будет выглядеть так:

Type Weight wraps int create { if (it.matches("\\d+")) { Integer.parseInt(it) } else if (it.matches("1\\s*/\\s*\\d+")) { val result = Integer.parseInt(it.replaceFirst("1\\s*/\\s*", "")) if (result <= 1) 1 else -result } else { throw new NumberFormatException("The weight must be either n or 1/n") } } convert { if (it >= 1) { it.toString } else if (it >= -1) { "1" } else { "1/" + (-it).toString } }
Xcore позволяет описывать также и относительно сложную логику.

Вот, например, операция расчета приоритетов в иерархии.

class Hierarchy { op void updatePriorities() { priorities.clear inconsistencies.clear val mat = new JudgmentMatrix(criteria) val criteriaJudgments = judgments.filter(typeof(CriterionJudgment)).filter(cj | cj.goal == goal) for (judgment: criteriaJudgments) { mat.set(judgment.first, judgment.second, judgment.weight) } for (criterion: criteria) { val GoalCriterionPriority priority = AHPFactory.eINSTANCE.createGoalCriterionPriority priority.goal = goal priority.criterion = criterion priority.value = mat.findEigenvectorElement(criterion) priorities.add(priority) } val goalInconsistency = AHPFactory.eINSTANCE.createGoalInconsistency goalInconsistency.goal = goal goalInconsistency.value = mat.inconsistency inconsistencies.add(goalInconsistency) val mat2 = new Matrix(alternatives.size, criteria.size) criteria.forEach ] val mat4 = mat2.multiply(mat.eigenvector) alternatives.forEach } }

Наконец, для Xcore-модели (как и для Ecore-модели) вы можете создать диаграмму классов.

Так выглядит метамодель для метода анализа иерархий. Это максимально упрощенный вариант. А в общем случае, иерархия может содержать более трех уровней (например, у критериев могут быть подкритерии). Матрицы связей между уровнями могут быть разреженными. Оценки могут ставить несколько экспертов, а не один.

Так выглядит спецификация редактора диаграмм и таблиц:

Так выглядит результирующий редактор:

Совсем декларативно описать редактор иерархий не получилось, пришлось писать расширения на Java. Думаю, стоит остановиться на этом немного подробней. В Sirius есть по крайней мере два варианта расширений: службы (service) и действия (action).

С помощью служб вы можете добавить классам из метамодели некоторые дополнительные операции. Например, следующие две операции соответственно форматируют приоритет и рассчитывают толщину связей между критериями и альтернативами.

Public class Service { public String toString(Priority priority) { return String.format("%.4f", priority.getValue()); } public int getEdgeWidth(Alternative alternative, EdgeTarget targetView) { DSemanticDecorator targetNode = (DSemanticDecorator)targetView; Criterion criterion = (Criterion)targetNode.getTarget(); Priority priority = alternative.getPriority(criterion); return (int) (priority.getValue() * 7); } }
Удобно то, что эти операции вы можете использовать прямо в AQL-выражениях. Однако, вы не можете с их помощью изменять модель.

Для изменения модели нужно использовать Java-действия. Действия в отличие от служб уже не могут вызываться в AQL-выражениях. Их можно запускать, например, через контекстное меню или по нажатию кнопки. Действия можно откатывать с помощью команды Undo.

Метод анализа иерархий (Analytic Hierarchy Process - AHP), или подход аналитической иерархии предполагает декомпозицию проблемы на простые составляющие части и обработку суждений лица, принимающего решения (ЛПР). В результате определяется относительная значимость исследуемых альтернатив для всех критериев, находящихся в иерархии. Относительная значимость выражается численно в виде векторов приоритетов. Полученные таким образом значения векторов являются оценками в шкале отношений и соответствуют так называемым жестким оценкам.

Назначение . С помощью онлайн-калькулятора производятся вычисление коэффициентов важности для элементов каждого уровня - индексы однородности и отношения однородности .

Инструкция . Укажите количество уровней иерархии. Затем введите число критериев на каждом уровне. Нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word .

Постановка задачи, решаемой с помощью метода анализа иерархий, заключается обычно в следующем.
Дано: общая цель решения задачи; критерии оценки альтернатив; альтернативы. Требуется: выбрать наилучшую альтернативу.
Подход AHP состоит из совокупности этапов:
1. Структуризация задачи виде иерархической структуры с несколькими уровнями: цели – критерии – альтернативы.
2. Попарное сравнение элементов каждого уровня лицом, принимающим решения. Результаты сравнения имеют числовой характер.
3. Вычисление коэффициентов важности для элементов каждого уровня. Проверка согласованности суждений ЛПР.
Подсчет количественной оценки качества альтернатив. Выбор лучшей альтернативы.
Для установления относительной важности элементов иерархии используется шкала отношений. Данная шкала позволяет ЛПР ставить в соответствие степеням предпочтения одного сравниваемого объекта перед другим некоторые числа (таблица 2).

Таблица 2. Шкала отношений

Степень значимости	Определение	Объяснение
1	Одинаковая значимость	Два действия вносят одинаковый вклад в достижение цели
3	Некоторое преобладание значимости одного действия над другим	Существуют соображения в пользу предпочтения одного из действий, однако эти соображения недостаточно убедительны
5	Существенная или сильная значимость	Имеются надежные данные или логические суждения для того, чтобы показать предпочтительность одного из действий
7	Очевидная или очень сильная значимость	Убедительное свидетельство в пользу одного действия перед другим
9	Абсолютная значимость	Свидетельства в пользу предпочтения одного действия перед другим в высшей степени убедительны
2, 4, 6, 8	Промежуточные значения между двумя соседними суждениями	Ситуация, когда необходимо компромиссное решение
Обратные величины приведенных выше величин	Если действию i при сравнением с действием j приписывается одно из определенных выше чисел, то действию j при сравнении с действием i приписывается обратное значение	Если согласованность была постулирована при получении N числовых значений для образования матрицы

При использовании указанной шкалы ЛПР, сравнивая два объекта в смысле достижения цели, расположенной на вышележащем уровне иерархии, должен поставить число в интервале от 1 до 9 или обратное значение.
Для этого в иерархии выделяют элементы двух типов: элементы – родители и элементы – потомки. Элементы – потомки воздействуют на соответствующие элементы вышестоящего уровня иерархии, являющиеся по отношению к первым элементами – родителями. Матрицы парных сравнений строятся для всех элементов – потомков, относящихся к определенному родителю. Парные сравнения производятся в терминах доминирования одного элемента над другим в соответствии со шкалой отношений.
Если элемент Е 1 доминирует над элементом Е 2 , то клетка матрицы, соответствующая строке Е 1 и столбцу Е 2 , заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке Е 2 и столбцу Е 1 , заполняется обратным к нему числом.
При проведении парных сравнений следует отвечать на вопросы: какой из двух сравниваемых элементов важнее или имеет большее воздействие, какой более вероятен и какой предпочтительнее.
При сравнении критериев обычно спрашивают, какой из критериев более важен; при сравнении альтернатив по отношению к критерию – какая из альтернатив более предпочтительна или более вероятна.

Теорема 1 . В положительной обратносимметрической квадратной матрице λ max ≥n.

Теорема 2 . Положительная обратносимметрическая квадратная матрица А согласованна тогда и только тогда, когда λ max =n.

Таким образом, для оценки однородности суждений эксперта можно использовать отклонение величины максимального собственного значения λ max от порядка матрицы n.
Согласованность суждения оценивается индексом однородности (индексом согласованности) или отношением однородности (отношением согласованности) в соответствии со следующими формулами:

M(ио) - среднее значение индекса однородности случайным образом составленной матрицы парных сравнений, которое основано на экспериментальных данных. Значение есть табличная величина, входным параметром выступает размерность матрицы (таблица 6).

Таблица 6. Среднее значение индекса однородности в зависимости от порядка матрицы

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
M(ио)	0	0	0,58	0,90	1,12	1,24	1,32	1,41	1,45	1,49	1,51

В качестве допустимого используется значение OO≤0,10. Если для матрицы парных сравнений OO>0.1, то это свидетельствует о существенном нарушении логики суждений, допущенном экспертом при заполнении матрицы, поэтому эксперту предлагается пересмотреть данные, использованные для построения матрицы, чтобы улучшить однородность.

Пример . Рассмотрим матрицу парных сравнений и вычислим приближенное значение главного собственного вектора:

Просуммируем элементы каждой строки и найдем сумму всех элементов матрицы:

Нормализуя вектор W s делением каждой координаты на величину S, получаем приближенное значение главного собственного вектора:

Приближенное значение максимального собственного значения можно найти по формуле λ max =e T AW, рассмотренной выше:

При таком вычислении главного собственного вектора и максимального собственного значения может оказаться, что согласованная в действительности матрица является несогласованной по вычислениям и наоборот.
Пример. Вычислим отношение согласованности рассматриваемой выше матрицы, взяв в качестве максимального собственного значения его точное и приближенное число.

При большей погрешности метода вычисления главного собственного вектора, отношение согласованности матрицы парных сравнений могло оказаться больше 0.01 .
Желательно использовать процедуры точного нахождения собственных значений и векторов матриц. Такое пожелание превращается в требование в особо ответственных задачах.

Пример (из книги Т. Саати). Рассмотрим общее благополучие индивидуума – высший уровень иерархии. На этот уровень в основном влияют детские, юношеские и взрослые впечатления. Факторы развития и зрелости, отражающиеся в благополучии, могут включать как влияние отца и матери в отдельности, так и их совместное влияние как родителей, социоэкономический фон, отношения с братьями и сестрами, группу ровесников, школьное обучение, религиозный статус и т.д.
На перечисленные выше факторы, которые составляют второй уровень иерархии, влияют соответствующие критерии. Например, влияние отца может быть разбито на категории, включающие его темперамент, строгость, заботу и привязанность. Отношение с братьями и сестрами можно дальше характеризовать их количеством, разницей в возрасте, полом; моделирование воздействия и роли ровесников обеспечивает более яркую картину влияния друзей, обучения в школе и учителей.
В качестве альтернативной основы описания для второго уровня можно включить чувство собственного достоинства, уверенность в будущем, адаптируемость к новым людям и новым обстоятельствам и т.д., влияющих или находящихся под влиянием расположенных выше элементов.
Более полная основа психологической предыстории может включать несколько сотен элементов на каждом уровне, выбранных экспертами и расположенных таким образом, чтобы получить максимальное понимание рассматриваемого индивидуума.
Рассмотрим ограниченный случай, где испытуемый чувствует, что уверенность в его силы подорвана и его социальная приспособляемость ослаблена запретами в детстве. Ему задают вопросы только о детских впечатлениях и просят попарно установить связь между следующими элементами на каждом уровне.
Построим иерархию, в которой: ОБ – общее благополучие; Д – чувство собственного достоинства; У – чувство уверенности в будущем; А – способность адаптироваться к другим; П – явная привязанность, проявленная по отношению к субъекту; Э – идеи строгости, этики; Н – действительное наказание ребенка; Л – подчеркивание личной приспособляемости к другим; М – влияние матери; О – влияние отца; Р – влияние обоих родителей.

Рисунок 1 - Иерархическая схема общего благополучия индивидуума

Осуществим иерархический синтез:

Индивидууму посоветовали больше общаться с отцом с целью уравновешивания влияния родителей.
В приведенном примере некоторые матрицы несогласованные. Однако следует понимать, что человеку в данной ситуации нельзя было повторно задавать одни и те же вопросы до тех пор, пока все матрицы не стали бы однородными.
После решения задачи синтеза иерархии, оценивается однородность всей иерархии с помощью суммирования показателей однородности всех уровней, приведенных путем взвешивания к первому иерархическому уровню.

Метод анализа иерархий (МАИ) - математический инструмент системного подхода к сложным проблемам принятия решений.

МАИ не предписывает лицу, принимающему решение (ЛПР), какого-либо «правильного» решения, а позволяет ему в интерактивном режиме найти такой вариант (альтернативу), который наилучшим образом согласуется с его пониманием сути проблемы и требованиями к её решению.

Этот метод разработан американским математиком Томасом Л. Саати , который написал о нем книги, разработал программные продукты и в течение 20 лет проводит симпозиумы ISAHP (англ. International Symposium on Analytic Hierarchy Process ). МАИ широко используется на практике и активно развивается учеными всего мира. В его основе наряду с математикой заложены и психологические аспекты. МАИ позволяет понятным и рациональным образом структурировать сложную проблему принятия решений в виде иерархии, сравнить и выполнить количественную оценку альтернативных вариантов решения. Метод анализа иерархий используется во всем мире для принятия решений в разнообразных ситуациях: от управления на межгосударственном уровне до решения отраслевых и частных проблем в бизнесе , промышленности , здравоохранении и образовании .

Для компьютерной поддержки МАИ существуют программные продукты, разработанные различными компаниями.

Анализ проблемы принятия решений в МАИ начинается с построения иерархической структуры, которая включает цель, критерии, альтернативы и другие рассматриваемые факторы, влияющие на выбор. Эта структура отражает понимание проблемы лицом, принимающим решение.

Каждый элемент иерархии может представлять различные аспекты решаемой задачи, причем во внимание могут быть приняты как материальные, так и нематериальные факторы, измеряемые количественные параметры и качественные характеристики, объективные данные и субъективные экспертные оценки . Иными словами, анализ ситуации выбора решения в МАИ напоминает процедуры и методы аргументации, которые используются на интуитивном уровне.

Следующим этапом анализа является определение приоритетов, представляющих относительную важность или предпочтительность элементов построенной иерархической структуры, с помощью процедуры парных сравнений. Безразмерные приоритеты позволяют обоснованно сравнивать разнородные факторы, что является отличительной особенностью МАИ. На заключительном этапе анализа выполняется синтез (линейная свертка) приоритетов на иерархии, в результате которой вычисляются приоритеты альтернативных решений относительно главной цели. Лучшей считается альтернатива с максимальным значением приоритета.

Пример задачи многокритериального выбора с простейшей иерархией

В данной задаче необходимо выбрать из трех кандидатов одного на должность руководителя (см. рисунок). Кандидаты оцениваются по критериям: возраст, опыт, образование и личные качества. На рисунке показана иерархия для этой задачи. Простейшая иерархия содержит три уровня: цель, критерии и альтернативы. Числа на рисунке показывают приоритеты элементов иерархии с точки зрения цели, которые вычисляются в МАИ на основе парных сравнений элементов каждого уровня относительно связанных с ними элементами вышерасположенного уровня. Приоритеты альтернатив относительно цели (глобальные приоритеты) вычисляются на заключительном этапе метода путём линейной свертки локальных приоритетов всех элементов. В данном примере лучшим кандидатом является Дик, так как имеет максимальное значение глобального приоритета

Сфера образования и научных исследований

Раз в два года проводится Международный симпозиум, посвященный МАИ (International Symposium on Analytic Hierarchy Process, ISAHP), на котором встречаются как ученые, так и практики, работающие с МАИ. В 2007 году симпозиум проходил в Вальпараисо, Чили, где было представлено более 90 докладов ученых из 19 стран, включая США, Германию, Японию, Чили, Малайзию, и Непал .

Методика применения МАИ

Порядок применения МАИ:

Рассмотрим эти шаги подробнее.

Моделирование проблемы в виде иерархии

Определение иерархической структуры

Объяснение иерархических структур, используемых в МАИ

Иерархические структуры, используемые в МАИ, представляют собой инструмент для качественного моделирования сложных проблем. Вершиной иерархии является главная цель; элементы нижнего уровня представляют множество вариантов достижения цели (альтернатив); элементы промежуточных уровней соответствуют критериям или факторам, которые связывают цель с альтернативами.

Существуют специальные термины для описания иерархической структуры МАИ. Каждый уровень состоит из узлов. Элементы, исходящие из узла, принято называть его детьми (дочерними элементами). Элементы, из которых исходит узел, называются родительскими. Группы элементов, имеющие один и тот же родительский элемент, называются группами сравнения. Родительские элементы альтернатив, как правило, исходящие из различных групп сравнения, называются покрывающими критериями. Используя эти термины для описания представленной ниже диаграммы, можно сказать, что четыре критерия - это дети цели; в свою очередь, цель - это родительский элемент для любого из критериев. Каждая Альтернатива - это дочерний элемент каждого из включающих её критериев. Всего на диаграмме присутствует две группы сравнения: группа, состоящая из четырех критериев и группа, включающая три Альтернативы.

Вид любой иерархии МАИ будет зависеть не только от объективного характера рассматриваемой проблемы, но и от знаний, суждений, системы ценностей, мнений, желаний и т. п. участников процесса. Опубликованные описания применений МАИ часто включают в себя различные схемы и объяснения представленных иерархий . Последовательное выполнение всех шагов МАИ предусматривает возможность изменения структуры иерархии, с целью включения в неё вновь появившихся, или ранее не считавшихся важными, критериев и Альтернатив .

Расстановка приоритетов

Определение приоритетов и пояснения

Приведем пример, в котором локальные приоритеты альтернатив по разным критериям не совпадают. Глобальные приоритеты альтернатив относительно цели вычисляются путём умножения локального приоритета каждой альтернативы на приоритет каждого критерия и суммирования по всем критериям.

См.также

Примечания

Saaty, Thomas L. (2008-06). “Relative Measurement and its Generalization in Decision Making: Why Pairwise Comparisons are Central in Mathematics for the Measurement of Intangible Factors - The Analytic Hierarchy/Network Process” (PDF) . RACSAM (Review of the Royal Spanish Academy of Sciences, Series A, Mathematics) . 102 (2): 251-318. Проверено 2008-12-22 . Проверьте дату в |date= (справка на английском)
Drake, P.R. (1998). “Using the Analytic Hierarchy Process in Engineering Education” (PDF) . International Journal of Engineering Education . 14 (3): 191-196. Архивировано из оригинала (PDF) 2007-11-28. Проверено 2007-08-20 . Используется устаревший параметр |deadlink= (справка)
Bodin, Lawrence; Saul I. Gass (January, 2004). “Exercises for Teaching the Analytic Hierarchy Process” ((недоступная ссылка) - Scholar search) . INFORMS Transactions on Education . 4 (2). Проверено 2009-03-11 . Используется устаревший параметр |coauthors= (справка); Проверьте дату в |date= (справка на английском)
Hallowell, David L. (January 2005). “Analytical Hierarchy Process (AHP) – Getting Oriented” . ISixSigma.com . Архивировано из оригинала 2007-08-11. Проверено 2007-08-21 . Используется устаревший параметр |month= (