Практическое занятие № 2
Тема: Логика и доказательство. Доказательство: прямое, обратное, от противного. Метод математической индукции.
Занятие рассчитано на 2 академ. часа.
Цель: изучить различные методы доказательств (прямое рассуждение, метод «от противного» и обратное рассуждение), иллюстрирующие методологию рассуждений. Рассмотреть метод математической индукции.
Теоретический материал
Методы доказательств
При доказательстве теорем применяется логическая аргументация. Доказательства в информатике неотъемлемая часть проверки корректности алгоритмов. Необходимость доказательства возникает, когда нам нужно установить истинность высказывания вида (А В). Существует несколько стандартных типов доказательств, включающих следующие:
- Прямое рассуждение (доказательство).
Предполагаем, что высказывание А истинно и показываем справедливость В. Такой способ доказательства исключает ситуацию, когда A истинно, a B ложно, поскольку именно в этом и только в этом случае импликация (А В) принимает ложное значение (см. табл).
Таким образом, прямое доказательство идет от рассмотрения аргументов к доказательству тезиса, т. е. истинность тезиса непосредственно обосновывается аргументами. Схема этого доказательства такая: из данных аргументов (а, b, с, ...) необходимо следует доказываемый тезис q.
По этому типу проводятся доказательства в судебной практике, в науке, в полемике, в сочинениях школьников, при изложении материала учителем и т. д.
Примеры:
1. Учитель на уроке при прямом доказательстве тезиса “Народ творец истории”, показывает; во-первых , что народ является создателем материальных благ, во-вторых , обосновывает огромную роль народных масс в политике, разъясняет, как в современную эпоху народ ведет активную борьбу за мир и демократию, в-третьих , раскрывает его большую роль в создании духовной культуры.
2. На уроках химии прямое доказательство о горючести сахара может быть представлено в форме категорического силлогизма: Все углеводы - горючи. Сахар - углевод. Сахар горюч.
В современном журнале мод “Бурда” тезис “Зависть - корень всех зол” обосновывается с помощью прямого доказательства следующими аргументами: “Зависть не только отравляет людям повседневную жизнь, но может привести и к более серьезным последствиям, поэтому наряду с ревностью, злобой и ненавистью, несомненно, относится к самым плохим чертам характера. Подкравшись незаметно, зависть ранит больно и глубоко. Человек завидует благополучию других, мучается от сознания того, что кому-то больше повезло”".
2. Обратное рассуждение (доказательство ) . Предполагаем, что высказывание В ложно и показываем ошибочность А. То есть, фактически, прямым способом проверяем истинность импликации ((не В) (не А)), что согласно таблицы, логически эквивалентно истинности исходного утверждения (А В).
3. Метод «от противного».
Этот метод часто используется в математике. Пусть а - тезис или теорема, которую надо доказать. Предполагаем от противного, что а ложно, т. е. истинно не-а (или). Из допущения выводим следствия, которые противоречат действительности или ранее доказанным теоремам. Имеем, при этом - ложно, значит, истинно его отрицание, т.е. , которое по закону двузначной классической логики (→ а ) дает а. Значит, истинно а , что и требовалось доказать.
Примеров доказательства “от противного” очень много в школьном курсе математики. Так, пример, доказывается теорема о том, что из точки, лежащей вне прямой, на эту прямую можно опустить лишь один перпендикуляр. Методом “от противного” доказывается и следующая теорема: “Если две прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то они параллельны”. Доказательство этой теоремы пpямо начинается словами: “Предположим противное, т. е. что прямые АВ и CD не параллельны”.
Математическая индукция
Компьютерную программу в информатике называют правильной или корректной, если она делает то, что указано в ее спецификации. Несмотря на то, что тестирование программы может давать ожидаемый результат в случае каких-то отдельных начальных данных, необходимо доказать приемами формальной логики, что правильные выходные данные будут получаться при любых вводимых начальных значениях.
Проверка корректности алгоритма, содержащего циклы, нуждается в довольно мощном методе доказательства, который называется «математическая индукция».
В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений - это рассуждение от общего к частному, т.е. рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а заключительным моментом частный результат. Индукция применяется при переходе от частных результатов к общим, т.е. является методом, противоположным дедуктивному. Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате логического мышления приходим к высшему. Человек всегда стремился к прогрессу, к умению развивать свою мысль логически, а значит, сама природа предначертала ему размышлять индуктивно.
Принцип математической индукции это следующая теорема:
Пусть мы имеем бесконечную последовательность утверждений P 1 , P 2 , ..., P n занумерованных натуральными числами, причём: утверждение P 1 истинно; если некоторое утверждение P k истинно, то следующее утверждение P k +1 тоже истинно.
Тогда принцип математической индукции утверждает, что все утверждения последовательности истинны.
Другими словами принцип математической индукции можно сформулировать так: если в очереди первой стоит женщина, и за каждой женщиной стоит женщина, то все в очереди женщины.
Способ рассуждений, основанный на принципе математической индукции называется методом математической индукции. Для решения задач методом математической индукции необходимо:
1) сформулировать утверждение задачи в виде последовательности утверждений P 1 , P 2 , ..., P n , ... ;
2) доказать, что утверждение P 1 истинно (этот этап называется базой индукции); 3) доказать, что если утверждение P n истинно при некотором n= k, то оно истинно и при n = k + 1 (этот этап называется шагом индукции).
Ввиду недостоверности заключения индукция не может служить методом доказательства. Но она является мощным эвристическим методом , т. е. методом открытия новых истин.
Индукция может привести к ложному заключению. Так, например, вычисляя значения выражения n 2 +n+17 при n = 1,2,3, ..., 15, мы получаем неизменно простые числа, и это наводит на мысль, что значение этого выражения при любом натуральном n есть простое число. Иначе говоря, на основании пятнадцати частных посылок получено общее заключение, относящееся к бесконечному множеству частных случаев, и это заключение оказывается ложным, так как уже при n = 16 получаем составное число 16 2 +16+17=172.
В истории математики были случаи, когда известные математики ошибались в своих индуктивных выводах. Например, П. Ферма предположил, что все числа вида 22 n + 1 простые, исходя из того, что при n = 1,2,3,4 они являются таковыми, но Л. Эйлер нашел, что уже при n = 5 число 232+ 1 не является простым (оно делится на 641). Однако возможность получения с помощью индукции ложного заключения не является основанием для отрицания роли индукции в школьном обучении математике.
Пример 1: Покажите прямым способом рассуждений, что произведение ху двух нечетных целых чисел х и у всегда нечетно.
Решение. Любое нечетное число, и в частности х, можно записать в виде х = 2 m + 1, где m Z . Аналогично, у = 2 n + 1, n Z .
Значит, произведение ху = (2 m + 1)(2 n + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2 mn + m + n ) + 1 тоже является нечетным числом.
Пример 2: Пусть n N . Покажите, используя обратный способ доказательства, что если n 2 нечетно, то и n нечетно.
Решение. Отрицанием высказывания о нечетности числа n 2 служит утверждение « n 2 четно», а высказывание о четности n является отрицанием утверждения «число n нечетно». Таким образом, нужно показать прямым способом рассуждений, что четность числа n влечет четность его квадрата n 2 .
Так как n четно, то n =2 m для какого-то целого числа m . Следовательно, n 2 = 4 m 2 = 2(2 m 2 ) четное число.
Пример 3: Методом «от противного» покажите, что решение уравнения х 2 = 2 является иррациональным числом, т. е. не может быть записано в виде дроби с целыми числителем и знаменателем.
Решение. Здесь нам следует допустить, что решение х уравнения х 2 = 2 рационально, т. е. записывается в виде дроби х = с целыми m и n , причем n 0. Предположив это, нам необходимо получить противоречие либо с предположением, либо с каким-то ранее доказанным фактом.
Как известно, рациональное число неоднозначно записывается
в виде дроби. Например, х = == и т.д. Однако можно считать, что m и n не имеют общих делителей. В этом случае неоднозначность записи пропадает.
Итак, предполагаем дополнительно, что дробь х = несократима (m и n не имеют общих делителей). По условию число х удовлетворяет уравнению х 2 = 2. Значит, () 2 = 2, откуда m 2 = 2 n 2 .
Из последнего равенства следует, что число m 2 четно. Следовательно, m тоже четно и может быть представлено в виде m = 2р для какого-то целого числа р. Подставив эту информацию в равенство m 2 = 2 n 2 , мы получим, что 4р 2 = 2 n 2 , т. е. n 2 = 2р 2 .
Но тогда n тоже является четным числом. Таким образом, мы показали, что как m , так и n четные числа. Поэтому они обладают общим делителем 2. Если же теперь вспомнить, что мы предполагали отсутствие общего делителя у числителя и знаменателя дроби, то увидим явное противоречие.
Найденное противоречие приводит нас к однозначному выводу: решение уравнения х 2 = 2 не может быть рациональным числом, т. е. оно иррационально.
Пример 4: Докажем по индукции следующее равенство (которое, конечно, допускает и другие доказательства):
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2.
База. При n = 1 равенство превращается в тождество 1 = 1·(1 + 1)/2.
Шаг. Пусть равенство выполнено при n = k: 1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)/2.
Прибавим к обеим частям этого равенства k + 1. В левой части мы получим сумму 1+2+3+...+k+(k+1), а в правой - k(k+1)/2+(k+1)=(k(k+1)+2(k+1))/2=((k+2)(k+1))/2.
Итак, 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = (k + 1)(k + 2)/2, а это и есть требуемое равенство при n = k + 1, где n означает произвольное натуральное число.
Контрольные вопросы
- В чем разница между доказательством прямым рассуждением, обратным, от противного?
- Что означает математическая индукция? Объясните принцип математической индукции.
Индивидуальные задания
1. Используя методы доказательства:
1) Прямым рассуждением докажите истинность высказывания: n и m четные числа n + m число четное.
2) Дайте обратное доказательство высказывания: n 2 четное число n четное.
3) Методом «от противного» докажите, что n + m нечетное число одно из слагаемых является четным, а другое нечетным.
2. Докажите каждое из высказываний методом математической индукции.
1) 1 + 5 + 9 +…+(4 n - 3) = n (2 n 1) для всех натуральных чисел n .
2) 1 2 +2 2 +…+ n 2 = n (n +1)(2 n +1)/6 для всех натуральных чисел n .
3) д ля всех натуральных чисел n .
4) Число n 3 n делится на 3 при всех натуральных значениях числа n .
5) 1*1! + 2* 2!+…+- n * n ! = (n + 1)! 1 для всех натуральных чисел n .
(Символ n ! читается как « n факториал» и обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно: n ! = l *2*3*** (n l )* n .)
Дополнительные задания:
1. Найдите ошибку в следующем «доказательстве» того, что все лошади одной масти.
Будем доказывать индукцией по n следующее утверждение: «В любом табуне из n это лошадей, все они одной масти». База (n = 1) очевидна: в этом случае все лошади - одна лошадь, она очевидно одной масти. Ш: пусть в любом табуне из k лошадей все лошади имеют одну масть. Рассмотрим табун из k + 1 лошади. Выберем в нём двух лошадей a и b и рассмотрим оставшиеся k 1 лошадь. Составим табун из этих оставшихся лошадей, добавив к ним a. В нём k лошадей, поэтому, по предположению индукции, все они одной масти. Значит, лошадь a имеет ту же масть, что и оставшиеся лошади. Аналогично доказывается, что ту же масть имеет лошадь b. Значит, все k + 1 лошадь имеют одинаковую масть. Утверждение доказано.
2. На бесконечном клетчатом листе бумаги 100 клеток закрашены в чёрный цвет, а все остальные в белый. За один ход разрешается перекрашивать в противоположный цвет любые четыре клетки, образующие квадрат 2x2. Докажите, что за несколько ходов можно добиться того, что все клетки окажутся белыми тогда и только тогда, когда любая горизонталь и любая вертикаль содержит чётное число чёрных клеток.
Теорема – это утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждения. Само рассуждение называется доказательством теоремы.
Теорема обратная данной – это теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – ее условие. Например: Теорема : В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обратная теорема : Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным.
Следствие – это утверждение, которое выводится непосредственно из теоремы. Например: следствием из теоремы о высоте равнобедренного треугольника является: Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
Доказательство методом от противного заключается в следующем:
1) Делается предположение противоположное тому, что надо доказать.
2) Затем, исходя из предположения, путем рассуждений приходят к противоречию либо с условием, либо с известным фактом.
3) На основании полученного противоречия делается вывод о том, что предположение неверно, а значит верно то, что требовалось доказать.
Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны .
Дано :
DАВС – пр/уг
ВС=В 1 С 1
Доказать :
DАВС = DА 1 В 1 С 1
Доказательство :
1. Приложим к DАВС к DА 1 В 1 С 1 , так чтобы вершина А совместилась с вершиной А 1 , вершина В с вершиной В 1 , а вершины С и С 1 оказались по разные стороны от прямой АВ.
2. Так как АВ= А 1 В 1 Þ они совпадут.
3. ÐСА 1 С 1 = 90 0 + 90 0 = 180 0 ÞÐСА 1 С 1 – развернутый и Þточки С, А 1 и С 1 – лежат на одной прямой.
4. Рассмотрим DСВС 1 – р/б (ВС= В 1 С 1 по условию)Þ ÐС = ÐС 1 (по свойству)
5. Таким образом, DАВС = DА 1 В 1 С 1 – по гипотенузе и острому углу. (ч.т.д.)
Билет №9.
Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр к прямой.
Перпендикулярные прямые – это две прямые, которые при пересечении образуют четыре прямых угла.(показать на рисунке)
Перпендикуляр к прямой – это отрезок, опущенный из точки на прямую под прямым углом. Точка пересечения отрезка и прямой называется основанием перпендикуляра (показать на рисунке)
Теоремы :
1)Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой и притом только один.
2)Две прямые перпендикулярные к одной и той же прямой не пересекаются.
Признак равнобедренного треугольника.
Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным.
Дано :
ÐА = ∠С
Доказать :
DАВС – р/б
Доказательство:
1. Мысленно скопируем DАВС и перевернем копию – получим DСВА.
2. Наложим DСВА на DАВС, так чтобы вершина С копии совместилась с вершиной А DАВС.
3. Так как ÐА = ÐС (по условию) Þ ÐА копии и ÐС треугольника при наложении совпадут, так же ÐС копии и ÐА треугольника при наложении совпадут.
4. Отрезок СВ копии наложится на луч АВ треугольника и отрезок АВ копии наложится на луч СВ треугольника.
5. Так как две прямые могут иметь только одну общую точку пересечения ⇒
т. В 1 совпадет с точкой В и ⇒ АВ совместится с СВ ⇒ АВ=СВ
6. Из того, что АВ=СВ ⇒ по определению ΔАВС - равнобедренный(ч.т.д.)
Билет №10.
Равнобедренный треугольник.
Треугольник , у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны называются боковыми сторонами , а третья сторона – основанием . (показать на рисунке)
Свойство равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.(показать на рисунке)
Признак равнобедренного треугольника : Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. (показать на рисунке)
Теорема о высоте равнобедренного треугольника : Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. (показать на рисунке)
Следствия из теоремы о высоте равнобедренного треугольника :
1) Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой. (показать на рисунке)
2) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и медианой. (показать на рисунке)
Часто при доказательстве теорем пользуются методом доказательства от противного . Суть этого метода помогает понять загадка. Попробуйте её разгадать.
Представьте себе страну, в которой приговорённому к казни предлагается выбрать одну из двух одинаковых на вид бумаг: на одной написано «смерть», на другой - «жизнь». Враги оклеветали одного жителя этой страны. И, чтобы у него не осталось никаких шансов спастись, сделали так, что на обороте обоих бумажек, из которых он должен выбрать одну, было написано «смерть». Друзья узнали об этом и сообщили осуждённому. Он попросил никому об этом не рассказывать. Вытащил одну из бумажек. И остался жить. Как ему это удалось?
Ответ. Осуждённый проглотил выбранную им бумажку. Чтобы установить, какой жребий ему выпал, судьи заглянули в оставшуюся бумажку. На ней было написано: «смерть». Это доказывало, что ему повезло, он вытащил бумажку, на которой было написано: «жизнь».
Как в случае, о котором рассказывает загадка, при доказательстве возможны только два случая: можно… или нельзя… Если удастся убедится, что первое невозможно (на бумажке, которая досталась судьям, написано: «смерть»), то сразу можно сделать вывод, что справедлива вторая возможность (на второй бумажке написано: «жизнь»).
Доказательство методом «от противного» осуществляется так.
1) Устанавливают, какие варианты в принципе возможны при решении задачи или доказательстве теоремы. Вариантов может быть два (например, перпендикулярны ли не перпендикулярны рассматриваемые прямые); вариантов ответа может быть три и больше (например, какой получается угол: острый, прямой или тупой).
2) Доказывают. Что не может выполняться ни один из тех вариантов, которые нам необходимо отбросит. (Например, если надо доказать, что прямые перпендикулярные, смотрим, что получается, если рассматривать не перпендикулярные прямые. Как правило, удаётся установить, что в этом случае какой-либо из выводов противоречит тому, что дано в условии, а потому невозможен.
3) На основании того, что все нежелательные выводы отброшены и только один (желательный) остался нерассмотренным, делаем вывод, что именно он верный.
Решим задачу, используя доказательство от противного.
Дано: прямые а и b такие, что любая прямая, которая пересекает а, пересекает и b.
Используя метод доказательства «от противного», доказать, что а ll b.
Доказательство.
Возможны только два случая:
1) прямые а и b параллельны (жизнь);
2) прямые а и b не параллельны (смерть).
Если удастся исключить нежелательный случай, то останется сделать вывод, что имеет место второй из двух возможных. Чтобы отбросить нежелательный случай, давайте подумаем, что произойдёт, если прямые а и b пересекаются:
По условию любая прямая, которая пересекает а, пересекает и b. Поэтому, если удастся найти хотя бы одну прямую, которая пересекает а, но не пересекает b, этот случай надо будет отбросить. Таких прямых можно найти сколько угодно: достаточно провести через любую точку К прямой а, кроме точки М прямую КС, параллельную b:
Поскольку отброшен один из двух возможных случаев, можно сразу сделать вывод, что а ll b.
Остались вопросы? Не знаете, как доказать теорему?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Ложен, мы тем самым обосновываем истинность противоположного ему положения - тезиса. Напр., врач, убеждая пациента в том, что тот не болен гриппом, может рассуждать следующим образом: «Если бы вы действительно были больны гриппом, то у вас была бы повышена температура, был заложен нос и т.д. Но ничего этого нет. Следовательно, нет и гриппа». Доказательство некоторого положения от противного - это истинности данного положения, опирающееся на демонстрацию ложности «противного» (противоречащего) положения и исключенного третьего.
Общая Д. от п. описывается следующим образом. Нужно доказать некоторое А. В процессе доказательства сначала формулируется противоположное ему высказывание не-А и предполагается, что истинно: допустим, что А ложно, тогда должно быть истинно не-А. Затем из этого якобы истинного антитезиса выводятся следствия - до тех пор, пока либо не получится , либо такое , которое явным образом противоречит известному истинному высказыванию.
Если показано, что не-А ложно, то тем самым обоснована истинность тезиса А (см.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО).
Философия: Энциклопедический словарь. - М.: Гардарики . Под редакцией А.А. Ивина . 2004 .
(лат. reduc-tio ad absurdum) , вид доказательства, при кром «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через противоречащего ему суждения - антитезиса. Опровержение антитезиса при этом достигается установлением факта его несовместимости с к.-л. заведомо истинным суждением. Этой форме Д. от п. соответствует след. схема доказательства: если В истинно и из А следует ложность В, то А - ложно. Другая, более общая Д. от п. - это путём опровержения (обоснования ложности) антитезиса по правилу: допустив А, вывели , следовательно - не-А. Здесь А может быть как утвердительным, так и отрицательным суждением. В последнем случае Д. от п. опирается на и закон двойного отрицания. Помимо указанных выше, существует «парадоксальная» форма Д. от п., применявшаяся уже в «Началах» Евклида: А можно считать доказанным, если удастся показать, что А следует даже из допущения ложности А.
Философский энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов . 1983 .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО
Лит.: Тарский Α., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Асмус В. Ф., Учение логики о доказательстве и опровержении, [М.], 1954; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Чёрч Α., Введение в математич. логику, пер. с англ., [т.] 1, М., 1960.
Философская Энциклопедия. В 5-х т. - М.: Советская энциклопедия . Под редакцией Ф. В. Константинова . 1960-1970 .
Смотреть что такое "ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО" в других словарях:
- (proof by contradiction) Доказательство, при котором признание исходной предпосылки неверной ведет к противоречию. То есть предположение об ошибочности исходной посылки позволяет одновременно и доказать какое либо утверждение, и опровергнуть его; … Экономический словарь
Один из видов косвенного доказательства … Большой Энциклопедический словарь
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия
Один из видов косвенного доказательства. * * * ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО, один из видов косвенного доказательства (см. КОСВЕННОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО) … Энциклопедический словарь
Доказательство от противного - (лат. reduction ad absurdum) вид доказательства, при котором справедливость некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение противоречащего ему суждения антитезиса. Опровержение антитезиса достигается путем… … Исследовательская деятельность. Словарь
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО - (лат. reductio ad absurdum) вид доказательства, при котором справедливость некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение противоречащего ему суждения антитезиса. Опровержение антитезиса достигается путем… … Профессиональное образование. Словарь
См.: Косвенное доказательство … Словарь терминов логики
- (лат. reductio ad absurdum) вид Доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение противоречащего ему суждения антитезиса. Опровержение антитезиса при этом достигается… … Большая советская энциклопедия
Метод от противного
Апагогия - логический приём, которым доказывается несостоятельность какого-нибудь мнения таким образом, что или в нём самом, или же в необходимо из него вытекающих следствиях мы открываем противоречие .
Поэтому апогогическое доказательство является доказательством косвенным: здесь доказывающий обращается сперва к противоположному положению, чтобы показать его несостоятельность, и затем по закону исключения третьего делает вывод о справедливости того, что требовалось доказать. Этот род доказательства называется также приведением к нелепости. Существенною его принадлежностью является довод, что третье не существует, т. е., что кроме мнения, справедливость которого нужно доказать, и второго, ему противоположного, которое служит исходным пунктом доказательства, никакой третий факт не допускается. Поэтому косвенное доказательство исходит из факта, отрицающее положение, справедливость которого требуется доказать.
Примеры
Смотри также
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Метод от противного" в других словарях:
В математике, метод бесконечного спуска это метод доказательства от противного, основанный на том, что множество натуральных чисел вполне упорядочено. Часто метод бесконечного спуска используется для доказательства того, что у некоторого… … Википедия
Метод доказательства, применявшийся математиками древности при нахождении площадей и объёмов. Название «метод исчерпывания» введено в 17 в. Типичная схема доказательства при помощи И. м. может быть изложена в современных… … Большая советская энциклопедия
Метод доказательства, применявшийся математиками древности при нахождении площадей и объемов. Назв. метод исчерпывания введено в 17 в. Типичная схема доказательства при помощи И. м. может быть изложена в современных обозначениях так: для… … Математическая энциклопедия
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия
- ’БЫТИЕ И ВРЕМЯ’ (‘Sein und Zeit’, 1927) основная работа Хайдеггера. На создание ‘Б.иВ.’, как традиционно полагается, повлияли две книги: работа Брентано ‘Значение бытия согласно Аристотелю’ и ‘Логические исследования’ Гуссерля. Первая из них… … История Философии: Энциклопедия
- (от позднелат. intuitio, от лат. intueor пристально смотрю) направление в обосновании математики и логики, согласно которому конечным критерием приемлемости методов и результатов этих наук является наглядно содержательная интуиция. Вся математика … Философская энциклопедия
Математику обычно определяют, перечисляя названия некоторых из ее традиционных разделов. Прежде всего, это арифметика, которая занимается изучением чисел, отношений между ними и правил действий над числами. Факты арифметики допускают различные… … Энциклопедия Кольера
Термин, ранее объединявший различные разделы математич. анализа, связанные с понятием бесконечно малой функции. Хотя метод бесконечно малых (в той или иной форме) с успехом применялся учеными Древней Греции и средневековой Европы для решения… … Математическая энциклопедия
- (от лат. absurdus нелепый, глупый) нелепость, противоречие. В логике под А. обычно понимается противоречивое выражение. В таком выражении что то утверждается и отрицается одновременно, как, напр., в высказывании «Тщеславие существует и тщеславия… … Философская энциклопедия