Евклид - первый математик Александрийской школы. Его главная работа «Начала» (????????, в латинизированной форме - «Элементы») содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвёл итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики. Из других сочинений по математике надо отметить «О делении фигур», сохранившееся в арабском переводе, 4 книги «Конические сечения», материал которых вошёл в произведение того же названия Аполлония Пергского, а также «Поризмы», представление о которых можно получить из «Математического собрания» Паппа Александрийского. Евклид - автор работ по астрономии, оптике, музыке и др.

Биография

К наиболее достоверным сведениям о жизни Евклида принято относить то немногое, что приводится в Комментариях Прокла к первой книге Начал Евклида. Отметив, что «писавшие по истории математики» не довели изложение развития этой науки до времени Евклида, Прокл указывает, что Евклид был старше Платоновского кружка, но моложе Архимеда и Эратосфена и «жил во времена Птолемея I Сотера», «потому что и Архимед, живший при Птолемее Первом, упоминает об Евклиде и, в частности, рассказывает, что Птолемей спросил его, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели Начала; а тот ответил, что нет царского пути к геометрии»

Дополнительные штрихи к портрету Евклида можно почерпнуть у Паппа и Стобея. Папп сообщает, что Евклид был мягок и любезен со всеми, кто мог хотя в малейшей степени способствовать развитию математических наук, а Стобей передаёт ещё один анекдот о Евклиде. Приступив к изучению геометрии и разобрав первую теорему, один юноша спросил у Евклида: «А какая мне будет выгода от этой науки?» Евклид подозвал раба и сказал: «Дай ему три обола, раз он хочет извлекать прибыль из учёбы».

Некоторые современные авторы трактуют утверждение Прокла - Евклид жил во времена Птолемея I Сотера - в том смысле, что Евклид жил при дворе Птолемея и был основателем Александрийского Мусейона. Следует, однако, отметить, что это представление утвердилось в Европе в XVII веке, средневековые же авторы отождествляли Евклида с учеником Сократа философом Евклидом из Мегар. Анонимная арабская рукопись XII века сообщает:

По своим философским воззрениям Евклид вероятней всего был платоником.

Начала Евклида

Основное сочинение Евклида называется Начала. Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее Гиппократом Хиосским, Леонтом и Февдием. Однако Начала Евклида вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино.

Начала состоят из тринадцати книг. Первая и некоторые другие книги предваряются списком определений. Первой книге предпослан также список постулатов и аксиом. Как правило, постулаты задают базовые построения (напр., «требуется, чтобы через любые две точки можно было провести прямую»), а аксиомы - общие правила вывода при оперировании с величинами (напр., «если две величины равны третьей, они равны между собой»).

В I книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгу венчает знаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Книга II, восходящая к пифагорейцам, посвящена так называемой «геометрической алгебре». В III и IV книгах излагается геометрия окружностей, а также вписанных и описанных многоугольников; при работе над этими книгами Евклид мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосского. В V книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским, а в VI книге она прилагается к теории подобных фигур. VII-IX книги посвящены теории чисел и восходят к пифагорейцам; автором VIII книги, возможно, был Архит Тарентский. В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях, вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (известный ныне как алгоритм Евклида), строится чётные совершенные числа, доказывается бесконечность множества простых чисел. В X книге, представляющей собой самую объёмную и сложную часть Начал, строится классификация иррациональностей; возможно, что её автором является Теэтет Афинский. XI книга содержит основы стереометрии. В XII книге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, а также объёмов пирамид и конусов; автором этой книги по общему признанию является Евдокс Книдский. Наконец, XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтетом Афинским.

В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены ещё две. XIV книга принадлежит александрийцу Гипсиклу (ок. 200 г. до н. э.), а XV книга создана во время жизни Исидора Милетского, строителя храма св. Софии в Константинополе (начало VI в. н. э.).

Начала предоставляют общую основу для последующих геометрических трактатов Архимеда, Аполлония и других античных авторов; доказанные в них предложения считаются общеизвестными. Комментарии к Началам в античности составляли Герон, Порфирий, Папп, Прокл, Симпликий. Сохранился комментарий Прокла к I книге, а также комментарий Паппа к X книге (в арабском переводе). От античных авторов комментаторская традиция переходит к арабам, а потом и в Средневековую Европу.

В создании и развитии науки Нового времени Начала также сыграли важную идейную роль. Они оставались образцом математического трактата, строго и систематически излагающего основные положения той или иной математической науки.

Другие произведения Евклида

Из других сочинений Евклида сохранились:

Данные (????????) - о том, что необходимо, чтобы задать фигуру;
О делении (???? ??????????) - сохранилось частично и только в арабском переводе; дает деление геометрических фигур на части, равные или состоящие между собой в заданном отношении;
Явления (?????????) - приложения сферической геометрии к астрономии;
Оптика (??????) - о прямолинейном распространении света.

По кратким описаниям известны:

Поризмы (?????????) - об условиях, определяющих кривые;
Конические сечения (??????);
Поверхностные места (????? ???? ?????????) - о свойствах конических сечений;
Псевдария (????????) - об ошибках в геометрических доказательствах;

Евклиду приписываются также:

Катоптрика (??????????) - теория зеркал; сохранилась обработка Теона Александрийского;
Деление канона (???????? ???????) - трактат по элементарной теории музыки.

Евклид и античная философия

Уже со времён пифагорейцев и Платона арифметика, музыка, геометрия и астрономия (т.наз. «математические» науки; позже Боэцием названные квадривием) рассматривались в качестве образца систематического мышления и предварительной ступени для изучения философии. Не случайно возникло предание, согласно которому над входом в платоновскую Академию была помещена надпись «Да не войдёт сюда не знающий геометрии».

Геометрические чертежи, на которых при проведении вспомогательных линий неявная истина становится очевидной, служат иллюстрацией для учения о припоминании, развитого Платоном в Меноне и других диалогах. Предложения геометрии потому и называются теоремами, что для постижения их истины требуется воспринимать чертёж не простым чувственным зрением, но «очами разума». Всякий же чертёж к теореме представляет собой идею: мы видим перед собой эту фигуру, а ведём рассуждения и делаем заключения сразу для всех фигур одного с ней вида.

Некоторый «платонизм» Евклида связан также с тем, что в Тимее Платона рассматривается учение о четырёх элементах, которым соответствуют четыре правильных многогранника (тетраэдр - огонь, октаэдр - воздух, икосаэдр - вода, куб - земля), пятый же многогранник, додекаэдр, «достался в удел фигуре вселенной». В связи с этим Начала могут рассматриваться как развёрнутое со всеми необходимыми посылками и связками учение о построении пяти правильных многогранников - так называемых «платоновых тел», завершающееся доказательством того факта, что других правильных тел, кроме этих пяти, не существует.

Для аристотелевского учения о доказательстве, развитого во Второй аналитике, Начала также предоставляют богатый материал. Геометрия в Началах строится как выводная система знаний, в которой все предложения последовательно выводятся одно за другим по цепочке, опирающейся на небольшой набор начальных утверждений, принятых без доказательства. Согласно Аристотелю, такие начальные утверждения должны иметься, так как цепочка вывода должна где-то начинаться, чтобы не быть бесконечной. Далее, Евклид старается доказывать утверждения общего характера, что тоже соответствует любимому примеру Аристотеля: «если всякому равнобедренному треугольнику присуще иметь углы, в сумме равные двум прямым, то это присуще ему не потому что он равнобедренный, а потому что он треугольник» (An. Post. 85b12).

Псевдо-Евклид

Евклиду приписываются два важных трактата об античной теории музыки: «Гармоническое введение» и «Деление канона». О настоящем авторе этих произведений ничего не известно. Генрих Мейбом (1555-1625) снабдил «Гармоническое введение» обстоятельными примечаниями, и, вместе с «Делением канона» первым авторитетно приписал их к трудам Евклида. При последующем подробном анализе этих трактатов было определено, что первый имеет следы пифагорейской традиции (например, в нём все полутоны считаются равными), а второй - отличает аристотелевский характер (например, отрицается возможность деления тона пополам). Стиль изложения «Гармонического введения» отличается догматизмом и непрерывностью, стиль «Деления канона» несколько схож с «Началами» Евклида, поскольку также содержит теоремы и доказательства.

Карл Ян (1836-1899) придерживался мнения, что трактат «Гармоническое введение» написан Клеонидом, поскольку в некоторых рукописях стоит его имя. Кроме имени Евклида и Клеонида в рукописях как авторы упоминаются Папп и Аноним. В большинстве научных публикаций автора предпочитают называть Псевдо-Евклидом.

Греческий трактат Псевдо-Евклида с русским переводом и примечаниями Г. А. Иванова был издан в Москве в 1894 году

Евклид (365-300 до н. э.), древнегреческий математик.

Родился в Афинах (по другим данным, в Тире). О жизни учёного наверняка известно лишь то, что он был учеником Платона, а расцвет его деятельности пришёлся на время царствования в Египте Птолемея I Сотера (IV в. до н. э.).

Имя Евклида упоминается в письме Архимеда к друзьям, например к философу Досифею («О шаре и цилиндре»). Некоторые биографические данные сохранились на страницах арабской рукописи XII в.: «Евклид, сын Наукрата, известный под именем Геометра, учёный старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира».

Во времена Птолемея Александрия, столица Египетского царства, была крупным культурным центром чтобы возвеличить своё государство, Птолемей призвал в страну учёных и поэтов, создав для них храм муз - Мусейон. Здесь были залы для занятий, ботанический и зоологический сады, астрономическая башня, комнаты для уединённой работы и главное - великолепная Александрийская библиотека.

В числе приглашённых оказался и Евклид, основавший здесь математическую школу и создавший для своих учеников фундаментальный труд по геометрии под общим названием «Начала» (около 325 г. до н. э.). В нём изложены основы планиметрии, стереометрии, теории чисел, алгебры, описаны методы определения площадей и объёмов и т. д.

«Начала» состоят из 15 книг. Частично они представляют собой обработку трактатов греческих математиков V-IV вв. до н. э. Ни одна научная книга не пользовалась такой популярностью, -- говорили даже, что после Библии это самый популярный письменный памятник древности. «Начала» копировали на папирусе; пергаменте, бумаге, а потом и типографским способом (впервые в 1533 г. в Базеле, Швейцария). Вплоть до XX в. книга считалась базовым учебником по геометрии не только для школ, но и для университетов.

Ещё одно значительное сочинение Евклида - «Данные» представляет собой введение в геометрический анализ. Учёному принадлежат также «Явления» (посвящены элементарной сферической астрономии), «Оптика» (содержит учение о перспективе) и «Катоптрика» (излагает теорию отражений в зеркалах), небольшой трактат «Сечения канона» (включает десять задач о музыкальных интервалах), сборник задач по делению площадей фигур «О делениях» (дошёл до нас в арабском переводе).

Умер Евклид предположительно в Александрии.

Евклид или Эвклид (др.-греч. Εὐκλείδης, от «добрая слава», время расцвета). Жил около 300 года до н. э. Древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения о Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в 3 в. до н. э.

Евклид - первый математик Александрийской школы. Его главная работа «Начала» (Στοιχεῖα, в латинизированной форме - «Элементы») содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвёл итог предшествующему развитию Древнегреческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики.

Из других сочинений по математике надо отметить «О делении фигур» , сохранившееся в арабском переводе, 4 книги «Конические сечения», материал которых вошёл в произведение того же названия Аполлония Пергского, а также «Поризмы», представление о которых можно получить из «Математического собрания» Паппа Александрийского. Евклид - автор работ по астрономии, оптике, музыке и др.

Дополнительные штрихи к портрету Евклида можно почерпнуть у Паппа и Стобея. Папп сообщает, что Евклид был мягок и любезен со всеми, кто мог хотя бы в малейшей степени способствовать развитию математических наук, а Стобей передаёт ещё один анекдот о Евклиде.

Приступив к изучению геометрии и разобрав первую теорему, один юноша спросил у Евклида: «А какая мне будет выгода от этой науки?» Евклид подозвал раба и сказал: «Дай ему три обола, раз он хочет извлекать прибыль из учёбы». Историчность рассказа сомнительна, поскольку аналогичный рассказывают о Платоне.

В целом количество данных о Евклиде настолько скудно, что существует версия (правда, малораспространенная) что речь идет о коллективном псевдониме группы александрийских ученых.

«Начала» Евклида:

В I книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгу венчает знаменитая теорема для прямоугольных треугольников.

Книга II, восходящая к пифагорейцам, посвящена так называемой «геометрической алгебре».

В III и IV книгах излагается геометрия окружностей, а также вписанных и описанных многоугольников; при работе над этими книгами Евклид мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосского.

В V книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским, а в VI книге она прилагается к теории подобных фигур.

VII-IX книги посвящены теории чисел и восходят к пифагорейцам; автором VIII книги, возможно, был Архит Тарентский. В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях, вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (известный ныне как алгоритм Евклида), строится чётные совершенные числа, доказывается бесконечность множества простых чисел.

В X книге, представляющей собой самую объёмную и сложную часть Начал, строится классификация иррациональностей; возможно, что её автором является Теэтет Афинский.

XI книга содержит основы стереометрии.

В XII книге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, а также объёмов пирамид и конусов; автором этой книги по общему признанию является Евдокс Книдский.

Наконец, XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтетом Афинским.

Евклид родился около 330 г. до н.э., предположительно, в г. Александрия. Некоторые арабские авторы полагают, что он происходил из богатой семьи из Нократа. Есть версия, что Евклид мог родиться в Тире, а всю свою дальнейшую жизнь провести в Дамаске. Согласно некоторым документам, Евклид учился в древней школе Платона в Афинах, что было под силу только состоятельным людям. Уже после этого он переедет в г. Александрия в Египте, где и положит начало разделу математики, ныне известному как «геометрия».

Жизнь Евклида Александрийского часто путают с жизнью Евклида из Мегуро, что делает сложным обнаружение любых надёжных источников жизнеописания математика. Достоверно известно только то, что именно он привлёк внимание общественности к математике и вывел эту науку на совершенно новый уровень, совершив революционные открытия в этой области и доказав множество теорем. В те времена Александрия была не только крупнейшим городом в западной части мира, но и центром крупной, процветающей отрасли производства папируса. Именно в этом городе Евклид разработал, записал и представил миру свои труды по математике и геометрии.

Научная деятельность

Евклида обоснованно считают «отцом геометрии». Именно он заложил основы этой области знаний и возвёл её на должный уровень, открыв обществу законы одного самых сложных разделов математики в то время. После переезда в Александрию, Евклид, как и многие учёные того времени, благоразумно проводит большую часть времени в Александрийской библиотеке. Этот музей, посвящённый литературе, искусству и наукам, был основан ещё Птолемеем. Здесь Евклид начинает объединять геометрические принципы, арифметические теории и иррациональные числа в единую науку геометрию. Он продолжает доказывать свои теоремы и сводит их в колоссальный труд «Начала».

За всё время своей малоисследованной научной деятельности, учёный закончил 13 изданий «Начал», охватывающих широкий спектр вопросов, начиная с аксиом и утверждений и заканчивая стереометрией и теорией алгоритмов. Наряду с выдвижением различных теорий, он начинает разрабатывать методику доказательства и логическое обоснование этих идей, которые докажут предложенные Евклидом утверждения.

Его труд содержит более 467 утверждений касательно планиметрии и стереометрии, а также гипотез и тезисов, выдвигающих и доказывающих его теории относительно геометрических представлений. Доподлинно известно, что в качестве одного из примеров в своих «Началах» Евклид использовал теорему Пифагора, устанавливающую соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Евклид утверждал, что «теорема верна для всех случаев прямоугольных треугольников».

Известно, что за время существования «Начал», вплоть до XX века, было продано больше экземпляров этой книги, чем Библии. «Начала», изданные и переизданные бесчисленное количество раз, в своей работе использовали разные математики и авторы научных трудов. Евклидова геометрия не знала границ, и учёный продолжал доказывать всё новые теоремы в совершенно разных областях, как, например, в области «простых чисел», а также в области основ арифметических знаний. Цепочкой логических рассуждений Евклид стремился открыть тайные знания человечеству. Система, которую учёный продолжал разрабатывать в своих «Началах», станет единственной геометрией, которую будет знать мир вплоть до XIX века. Однако современные математики открыли новые теоремы и гипотезы геометрии, и разделили предмет на «евклидову геометрию» и «неевклидову геометрию».

Сам учёный называл это «обобщённым подходом», основанным не на методе проб и ошибок, а на представлении неоспоримых фактов теорий. Во времена, когда доступ к знаниям был ограничен, Евклид принимался за изучение вопросов совершенно разных областей, в том числе и «арифметики и чисел». Он заключил, что обнаружение «самого большого простого числа» физически невозможно. Это утверждение он обосновал тем, что, если к самому большому известному простому числу добавить единицу, это неизбежно приведёт к образованию нового простого числа. Этот классический пример является доказательством ясности и точности мысли учёного, несмотря на его почтенный возраст и времена, в которые он жил.

Аксиомы

Евклид говорил, что аксиомы – это утверждения, не требующие доказательств, но при этом он понимал, что слепое принятие на веру этих утверждений не может использоваться в построении математических теорий и формул. Он осознавал, что даже аксиомы должны быть подкреплены неоспоримыми доказательствами. А потому учёный начал приводить логические заключения, подтверждавшие его геометрические аксиомы и теоремы. Для лучшего понимания этих аксиом, он разделил их на две группы, которые назвал «постулатами». Первая группа известна как «общие понятия», состоящие из признанных научных утверждений. Вторая группа постулатов является синонимом самой геометрии. Первая группа включает такие понятия, как «целое больше суммы частей» и «если две величины порознь равны одной и той же третьей, то они равны между собой». Вот лишь два из пяти постулатов, записанных Евклидом. Пять постулатов второй группы относятся непосредственно к геометрии, утверждая, что «все прямые углы равны между собой», и что «от всякой точки до всякой точки можно провести прямую».

Научная деятельность математика Евклида процветала, и в начале 1570-х г.г. его «Начала» были переведены с греческого языка на арабский, а затем и на английский язык Джоном Ди. С момента своего написания, «Начала» были перепечатаны 1 000 раз и, в конце концов, заняли почётное место в учебных классах XX столетия. Известно множество случаев, когда математики пытались оспорить и опровергнуть геометрические и математические теории Евклида, но все попытки неизменно оканчивались провалом. Итальянский математик Джироламо Саккери стремился усовершенствовать труды Евклида, но оставил свои попытки, не в силах отыскать в них ни малейшего изъяна. И лишь спустя столетие новая группа математиков сможет представить новаторские теории в области геометрии.

Другие работы

Не переставая трудиться над изменением теории математики, Евклид успел написать ряд работ на другую тематику, которые используются и на которые ссылаются по сей день. Эти труды были чистыми предположениями, основанными на неопровержимых доказательствах, красной нитью проходящими через все «Начала». Учёный продолжил изучение и открыл новую область оптики – катоптрику, в значительной мере утверждавшую математическую функцию зеркал. Его работы в области оптики, математических соотношений, систематизаций данных и изучения конических сечений затерялись в глубине веков. Известно, что Евклид успешно окончил восемь изданий, или книг, по теоремам, касающимся конических сечений, но ни одна из них не дошла до наших дней. Он также сформулировал гипотезы и предположения, основанные на законах механики и траектории движения тел. По-видимому, все эти работы были взаимосвязаны, и высказанные в них теории произрастали из единого корня – его знаменитых «Начал». Он также разработал ряд евклидовых «построений» – основных инструментов, необходимых для выполнения геометрических построений.

Личная жизнь

Есть свидетельства, что Евклид открыл при Александрийской библиотеке частную школу, чтобы иметь возможность обучать математике таких же энтузиастов, как он сам. Также бытует мнение, что в поздний период своей жизни он продолжал помогать своим ученикам в разработке собственных теорий и написании трудов. У нас нет даже чёткого представления о внешности учёного, а все скульптуры и портреты Евклида, которые мы видим сегодня, являются лишь плодом воображения их творцов.

Смерть и наследие

Год и причины смерти Евклида остаются для человечества тайной. В литературе встречаются туманные намёки на то, что он мог умереть около 260 г. до н.э. Наследие, оставленное учёным после себя, куда более значимо, чем впечатление, которое он производил при жизни. Его книги и труды продавались по всему миру до самого XIX века. Наследие Евклида пережило учёного на целых 200 веков, и служило источником вдохновения для таких личностей, как, например, Авраам Линкольн. По слухам, Линкольн всегда суеверно носил при себе «Начала», и во всех своих речах цитировал работы Евклида. Даже после смерти учёного, математики разных стран продолжали доказывать теоремы и издавать труды под его именем. В общем и целом, в те времена, когда знания были закрыты для широких масс, Евклид логическим и научным путём создал формат математики древности, который в наши дни известен миру под названием «евклидовой геометрии».

Оценка по биографии

Новая функция! Средняя оценка, которую получила эта биография. Показать оценку

(ок. 365 — 300 до н. э.)

О жизни этого ученого почти ничего не известно. До нас дошли только отдельные легенды о нем. Первый комментатор «Начал» Прокл (V век нашей эры) не мог указать, где и когда родился и умер Евклид. По Проклу, «этот ученый муж» жил в эпоху царствования Птолемея I. Некоторые биографические данные сохранились на страницах арабской рукописи XII века: «Евклид, сын Наукрата, известный под именем «Геометра», ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира».

Одна из легенд рассказывает, что царь Птолемей решил изучить геометрию. Но оказалось, что сделать это не так-то просто. Тогда он призвал Евклида и попросил указать ему легкий путь к математике. «К геометрии нет царской дороги», — ответил ему ученый. Так в виде легенды дошло до нас это ставшее крылатым выражение.

Царь Птолемей I, чтобы возвеличить свое государство, привлекал в страну ученых и поэтов, создав для них храм муз — Мусейон. Здесь были залы для занятий, ботанический и зоологический сады, астрономический кабинет, астрономическая башня, комнаты для уединенной работы и главное — великолепная библиотека. В числе приглашенных ученых оказался и Евклид, который основал в Александрии — столице Египта — математическую школу и написал для ее учеников свой фундаментальный труд.

Именно в Александрии Евклид основывает математическую школу и пишет большой труд по геометрии, объединенный под общим названием «Начала» — главный труд своей жизни. Полагают, что он был написан около 325 года до нашей эры.

Предшественники Евклида — Фалес, Пифагор, Аристотель и другие много сделали для развития геометрии. Но все это были отдельные фрагменты, а не единая логическая схема.

Как современников, так и последователей Евклида привлекала систематичность и логичность изложенных сведений. «Начала» состоят из тринадцати книг, построенных по единой логической схеме. Каждая из тринадцати книг начинается определением понятий (точка, линия, плоскость, фигура и т. д.), которые в ней используются, а затем на основе небольшого числа основных положений (5 аксиом и 5 постулатов), принимаемых без доказательства, строится вся система геометрии.

В то время развитие науки и не предполагало наличия методов практической математики. Книги I—IV охватывали геометрию, их содержание восходило к трудам пифагорейской школы. В книге V разрабатывалось учение о пропорциях, которое примыкало к Евдоксу Книдскому. В книгах VII—IX содержалось учение о числах, представляющее разработки пифагорейских первоисточников. В книгах Х—ХІІ содержатся определения площадей в плоскости и пространстве (стереометрия), теория иррациональности (особенно в Х книге); в XIII книге помещены исследования правильных тел, восходящие к Теэтету.

«Начала» Евклида представляют собой изложение той геометрии, которая известна и поныне под названием евклидовой геометрии. Она описывает метрические свойства пространства, которое современная наука называет евклидовым пространством. Евклидово пространство является ареной физических явлений классической физики, основы которой были заложены Галилеем и Ньютоном. Это пространство пустое, безграничное, изотропное, имеющее три измерения. Евклид придал математическую определенность атомистической идее пустого пространства, в котором движутся атомы. Простейшим геометрическим объектом у Евклида является точка, которую он определяет как то, что не имеет частей. Другими словами, точка — это неделимый атом пространства.

Бесконечность пространства характеризуется тремя постулатами:

«От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию».
«Ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой».
«Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг».

Учение о параллельных и знаменитый пятый постулат («Если прямая,падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых») определяют свойства евклидова пространства и его геометрию, отличную от неевклидовых геометрий.

Обычно о «Началах» говорят, что после Библии это самый популярный написанный памятник древности. Книга имеет свою, весьма примечательную историю. В течение двух тысяч лет она являлась настольной книгой школьников, использовалась как начальный курс геометрии. «Начала» пользовались исключительной популярностью, и с них было снято множество копий трудолюбивыми писцами в разных городах и странах. Позднее «Начала» с папируса перешли на пергамент, а затем на бумагу.На протяжении четырех столетий «Начала» публиковались 2500 раз: в среднем выходило ежегодно 6—7 изданий. До XX века книга считалась основным учебником по геометрии не только для школ, но и для университетов.

«Начала» Евклида были основательно изучены арабами, а позднее европейскими учеными. Они были переведены на основные мировые языки. Первые подлинники были напечатаны в 1533 году в Базеле Любопытно, что первый перевод на английский язык, относящийся к 1570 году,был сделан Генри Биллингвеем, лондонским купцом Евклиду принадлежат частично сохранившиеся, частично реконструированные в дальнейшем математические сочинения Именно он ввел алгоритм для получения наибольшего общего делителя двух произвольно взятых натуральных чисел и алгоритм, названный «счетом Эратосфена», —для нахождения простых чисел от данного числа.

Евклид заложил основы геометрической оптики, изложенные им в сочинениях «Оптика» и «Катоптрика». Основное понятие геометрической оптики — прямолинейный световой луч. Евклид утверждал, что световой луч исходит из глаза (теория зрительных лучей), что для геометрических построений не имеет существенного значения. Он знает закон отражения и фокусирующее действие вогнутого сферического зеркала, хотя точного положения фокуса определить еще не может Во всяком случае в истории физики имя Евклида как основателя геометрической оптики заняло надлежащее место.

У Евклида мы встречаем также описание монохорда — однострунного прибора для определения высоты тона струны и ее частей. Полагают, что монохорд придумал Пифагор, а Евклид только описал его («Деление канона», III век до нашей эры). Евклид со свойственной ему страстью занялся числительной системой интервальных соотношений. Изобретение монохорда имело значение для развития музыки. Постепенно вместо одной струны стали использоваться две или три. Так было положено начало созданию клавишных инструментов, сначала клавесина, потом пианино, А первопричиной появления этихмузыкальных инструментов стала математика.

Конечно, все особенности евклидова пространства были открыты не сразу, а в результате многовековой работы научной мысли, но отправным пунктом этой работы послужили «Начала» Евклида. Знание основ евклидовой геометрии является ныне необходимым элементом общего образования во всем мире.