Какие числа делятся без периодичности. Основные признаки делимости

Математика в 6 классе начинается с изучения понятия делимости и признаков делимости. Часто ограничиваются признаками делимости на такие числа:

На 2 : последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8;
На 3 : сумма цифр числа должна делиться на 3;
На 4 : число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4;
На 5 : последняя цифра должна быть 0 или 5;
На 6 : число должно обладать признаками делимости на 2 и на 3;
Признак делимости на 7 часто пропускается;
Редко таже рассказывают и о признаке делимости на 8 , хотя он аналогичен признакам делимости на 2 и на 4. Чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы трёхцифреное окончание делилось на 8.
Признак делимости на 9 знают все: сумма цифр числа должна делиться на 9. Что, правда, не развивает иммунитет против всяческих трюков с датами, которые используют нумерологи.
Признак делимости на 10 , наверное, самый простой: число должно оканчиваться нулём.
Иногда шестиклассникам рассказывают и о признаке делимости на 11 . Нужно цифры числа, стоящие на чётных местах сложить, из результата вычесть цифры, стоящие на нечётных местах. Если результат будет делиться на 11, то и само число делится на 11.

Вернёмся теперь к признаку делимости на 7. Если о нём рассказывают, тот объединяют с признаком делимости на 13 и советуют использовать так.

Берём число. Разбиваем его на блоки по 3 цифры в каждом (самый левый блок может содержать одну или 2 цифры) и попеременно складываем/вычитаем эти блоки.

Если результат делится на 7, 13 (или 11), то и само число делится на 7, 13 (илb 11).

Основан этот способ, как и ряд математических фокусов на том, что 7х11х13 = 1001. Однако что делать с трехзначными числами, для которых вопрос делимости, бывает, тоже не решить без самого деления.

Используя универсальный признак делимости , можно построить относительно простые алгоритмы определения, делится ли число на 7 и другие "неудобные" числа.

Усовершенствованный признак делимости на 7
Чтобы проверить, делится ли число на 7, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру дважды отнять. Если результат делится на 7, то и само число делится на 7.

Пример 1:
Делится ли на 7 число 238?
23-8-8 = 7. Значит, число 238 делится на 7.
Действительно, 238 = 34х7

Это действие можно проводить многократно.
Пример 2:
Делится ли на 7 число 65835?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 делится на 7 (если бы мы этого не заметили, то могли бы сделать ещё 1 шаг: 6-3-3 = 0, а 0 уж точно делится на 7).

Значит, и число 65835 делится на 7.

На основе универсиального признака делимости, можно усовершенствовать признаки делимости на 4 и на 8.

Усовершенствованный признак делимости на 4
Если половина числа единиц в сумме с числом десятков - чётнное число, то число делится на 4.

Пример 3
Делится ли число 52 на 4?
5+2/2 = 6, число чётное, значит, число на 4 делится.

Пример 4
Делится ли число 134 на 4?
3+4/2 = 5, число нечётное, значит, 134 на 4 не делится.

Усовершенствованный признак делимости на 8
Если сложить удвоенное число сотен, число десятков и половину числа единиц, и результат будет делиться на 4, то само число делится на 8.

Пример 5
Делится ли число 512 на 8?
5*2+1+2/2 = 12, число делится на 4, значит, 512 делится на 8.

Пример 6
Делится ли число 1984 на 8?
9*2+8+4/2 = 28, число делится на 4, значит, 1984 делится на 8.

Признак делимости на 12 - это объединение признаков делимсоти на 3 и на 4. Это же работает и для любых n, являющихся произведением взаимнопростых p и q. Чтобы число делилось на n (которое равно произведению pq,актих, что НОД(p,q)=1), одно должно делиться одновремено на p и на q.

Однако будьте внимательны! Чтобы работали составные признаки делимости, множители числа должны быть именно взаимнопростыми. Нельзая сказать, что число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4.

Усовершенствованный признак делимости на 13
Чтобы проверить, делится ли число на 13, надо от числа отбросить последнюю цифру и к получившемуся результату её четырежды прибавить. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.

Пример 7
Делится ли на 8 число 65835?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

Число 43 не делится на 13, значит, и число 65835 не делится на 13.

Пример 8
Делится ли на 13 число 715?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 делится на 13, значит, и число 715 делится на 13.

Признаки делимости на 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 и прочие составные числа, не являющиеся степенями простых, аналогичны признакам делимости на 12. Мы проверяем делимость на взаимно-простыем множители этих чисел.

Для14: на 2 и на 7;
Для 15: на 3 и на 5;
Для 18: на 2 и на 9;
Для 21: на 3 и на 7;
Для 20: на 4 и на 5 (или, по-другому, последняя цифра должна быть нулём, а предпоследняя - чётной);
Для 24: на 3 и на 8;
Для 26: на 2 и на 13;
Для 28: на 4 и на 7.

Усовершенствованный признак делимости на 16.
Вместо того, чтобы проверять, делится ли 4-циферное окончание числа на 16, можно сложить цифру единиц с увеличенной в 10 раз цифрой десятков, с учетверённой цифрой сотен и с
увеличенной в восемь раз цифрой тысяч, и проверить, делится ли результат на 16.

Пример 9
Делится ли число 1984 на 16?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 не делится на 16, значит, и 1984 не делится на 16.

Пример 10
Делится ли число 1526 на 16?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 не делитсся на 16, значит, и 1526 делится на 16.

Усовершенствованный признак делимости на 17.
Чтобы проверить, делится ли число на 17, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру пять раз отнять. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.

Пример 11
Делится ли число 59772 на 17?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 делится на 17, значит и число 59772 делится на 17.

Пример 12
Делится ли число 4913 на 17?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 делится на 17, значит и число 4913 делится на 17.

Усовершенствованный признак делимости на 19.
Чтобы проверить, делится ли число на 19, надо удвоенную последнюю цифру прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.

Пример 13
Делится ли число 9044 на 19?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 делится на 19, значит и число 9044 делится на 19.

Усовершенствованный признак делимости на 23.
Чтобы проверить, делится ли число на 23, надо последнюю цифру, увеличенную в 7 раз, прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.

Пример 14
Делится ли число 208012 на 23?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Вообще-то, уже можно заметить, что 253 - это 23,

Определение 1. Пусть число a 1) есть произведение двух чисел b и q так, что a=bq. Тогда a называется кратным b .

1) В данной статье под словом число будем понимать целое число.

Можно сказать также a делится на b, или b есть делитель a , или b делит a , или b входит множителем в a .

Из определения 1 вытекают следующие утверждения:

Утверждение 1. Если a -кратное b , b -кратное c , то a кратное c .

Действительно. Так как

где m и n какие то числа, то

Следовательно a делится на c.

Если в ряду чисел, каждое делится на следующее за ним, то каждое число есть кратное всех последующих чисел.

Утверждение 2. Если числа a и b - кратные числа c , то их сумма и разность также кратные числа c .

Действительно. Так как

a+b=mc+nc=(m+n)c,

a−b=mc−nc=(m−n)c.

Следовательно a+b делится на c и a−b делится на c .

Признаки делимости

Выведем общую формулу для определения признака делимости чисел на некоторое натуральное число m , которое называется признаком делимости Паскаля.

Найдем остатки деления на m следующей последовательностью. Пусть остаток от деления 10 на m будет r 1 , 10·r 1 на m будет r 2 , и т.д. Тогда можно записать:

Докажем, что остаток деления числа A на m равна остатку деления числа

(3)

Как известно, если два числа при делении на какое то число m дают одинаковый остаток, то из разность делится на m без остатка.

Рассмотрим разность A−A"

(6)

(7)

Каждый член правой части (5) делится на m следовательно левая часть уравнения также делится на m . Рассуждая аналогично, получим - правая часть (6) делится на m , следовательно левая часть (6) также делится на m , правая часть (7) делится на m , следовательно левая часть (7) также делится на m . Получили, что правая часть уравнения (4) делится на m . Следовательно A и A" имеют одинаковый остаток при делении на m . В этом случае говорят, что A и A" равноостаточные или сравнимыми по модулю m .

Таким образом, если A" делится на m m ) , то A также делится на m (имеет нулевой остаток от деления на m ). Мы показали что для определения делимости A можно определить делимость более простого числа A" .

Исходя из выражения (3), можно получить признаки делимости для конкретных чисел.

Признаки делимости чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Признак делимости на 2.

Следуя процедуре (1) для m=2 , получим:

Все остатки от деления на 2 равняются нулю. Тогда, из уравнения (3) имеем

Все остатки от деления на 3 равняются 1. Тогда, из уравнения (3) имеем

Все остатки от деления на 4 кроме первого равняются 0. Тогда, из уравнения (3) имеем

Все остатки равны нулю. Тогда, из уравнения (3) имеем

Все остатки равны 4. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 6. То есть из числа отбрасываем правую цифру, далее суммируем полученное число с 4 и добавляем отброшенное число. Если данное число делится на 6, то исходное число делится на 6.

Пример. 2742 делится на 6, т.к. 274*4+2=1098, 1098=109*4+8=444, 444=44*4+4=180 делится на 6.

Более простой признак делимости. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3 (т.е. если оно четное число и если сумма цифр делится на 3). Число 2742 делится на 6, т.к. число четное и 2+7+4+2=15 делится на 3.

Признак делимости на 7.

Следуя процедуре (1) для m=7 , получим:

Все остатки разные и повторяются через 7 шагов. Тогда, из уравнения (3) имеем

Все остатки все остатки нулевые, кроме первых двух. Тогда, из уравнения (3) имеем

Все остатки от деления на 9 равняются 1. Тогда, из уравнения (3) имеем

Все остатки от деления на 10 равняются 0. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 10 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 10 (то есть последняя цифра нулевая).

Существуют признаки, по которым иногда легко узнать, не производя деления на самом деле, делится или не делится данное число на некоторые другие числа.

Числа, которые делятся на 2, называют чётными . Число нуль тоже относится к чётным числам. Все остальные числа называют нечётными :

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - чётные,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... - нечётные.

Признаки делимости

Признак делимости на 2 . Число делится на 2, если его последняя цифра чётная. Например, число 4376 делится на 2, так как последняя цифра (6) - чётная.

Признак делимости на 3 . На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3. Например, число 10815 делится на 3, так как сумма его цифр 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 делится на 3.

Признаки делимости на 4 . Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, которое делится на 4. Например, число 244500 делится на 4, так как оно оканчивается двумя нулями. Числа 14708 и 7524 делятся на 4, так как две последние цифры этих чисел (08 и 24) делятся на 4.

Признаки делимости на 5 . На 5 делятся те числа, которые оканчиваются на 0 или 5. Например, число 320 делится на 5, так как последняя цифра 0.

Признак делимости на 6 . Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. Например, число 912 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3.

Признаки делимости на 8 . На 8 делятся те числа, у которых три последние цифры являются нулями или образуют число, которое делится на 8. Например, число 27000 делится на 8, так как оно оканчивается тремя нулями. Число 63128 делится на 8, так как три последние цифры образуют число (128), которое делится на 8.

Признак делимости на 9 . На 9 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 9. Например, число 2637 делится на 9, так как сумма его цифр 2 + 6 + 3 + 7 = 18 делится на 9.

Признаки делимости на 10, 100, 1000 и т. д. На 10, 100, 1000 и так далее делятся те числа, которые оканчиваются соответственно одним нулём, двумя нулями, тремя нулями и так далее. Например, число 3800 делится на 10 и на 100.

Еткарева Алина

Исследовательский учебный проект для 6 класса

Скачать:

Предварительный просмотр:

Районная научная конференция учащихся

Секция «Математика»

«Признаки делимости натуральных чисел »

Еткарева Алина,

Ученица 6 класса

ГБОУ СОШ ж.-д.ст. Погрузная

Научный руководитель:

Степанова Галина Алексеевна

учитель математики

ГБОУ СОШ ж.-д.ст. Погрузная

С. Кошки

Введение………………………………………………………………………...3

1. Глава 1. Немного истории …………………………………………….4 -5

2. Глава 2. Признаки делимости

2.1.Признаки делимости натуральных чисел на 2, на 3(9) на 5, на 10, изучаемые в школе……………………………………………………………….5-6

2.2. Признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, полученные самостоятельно……………………………………………………..6-7

2.3. Признаки делимости на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, описанные в разных источниках.............................................................................................................8-11

3.Глава 3. Применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач...................................................................................................11-14

Заключение. …………………………………………………………..15

Список использованной литературы………………………………………16

Введение

Актуальность: При изучении темы: «Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10» меня заинтересовал вопрос о делимости чисел. Известно, что не всегда одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка. При делении натуральных чисел, мы получаем остаток, допускаем ошибки, в результате - теряем время. Признаки делимости помогают, не выполняя деления, установить, делится ли одно натуральное число на другое. Я решила написать исследовательскую работу по данной теме.

Гипотеза: Если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел и на другие числа.

Объект исследования: Делимость натуральных чисел.

Предмет исследования: Признаки делимости натуральных чисел.

Цель: Дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел нацело, изученные мною.

Задачи:

Изучить историографию вопроса.
Повторить признаки делимости на 2, 3. 5, 9, 10, изученные мною в школе.
Исследовать самостоятельно признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000.
Изучить дополнительную литературу, подтверждающую правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел и правильность выявленных мной признаков делимости.
Выписать найденные из дополнительной литературы признаки делимости натуральных чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37.
Сделать вывод.
Составить слайдовую презентацию на тему: «Признаки делимости».
Составить брошюру «Признаки делимости натуральных чисел».

Новизна:

В ходе выполнения проекта я пополнила свои знания о признаках делимости натуральных чисел.

Методы исследования: Сбор материала, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение.

Глава 1. Немного из истории.

Признак делимости – это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли одно натуральное число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных стран и времен.

Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228г.г.).

При изучении темы: «Простые и составные числа» меня заинтересовал вопрос о составлении таблицы простых чисел, так как простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел. Оказывается, над этим же вопросом в свое время задумался живший в 3 веке до нашей эры александрийский ученый Эратосфен. Его метод составления списка простых чисел назвали «решето Эратосфена». Пусть надо найти все простые числа до 100. Напишем подряд все числа до 100.

1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9, 10 , 11, 12 , 13, 14, 15, 16 , 17, 18 , 19, 20, 21, 22 , 23 , 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 , 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37 , 38, 39, 40, 41 , 42, 43, 44, 45, 46 , 47, 48, 49, 50, 51, 52 , 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60 , 61 , 62, 63, 64, 65, 66 , 67, 68, 69, 70 , 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78 , 79, 80, 81, 82 , 83 , 84, 85, 86, 87, 88 , 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96 , 97, 98, 99, 100 .

Оставив число 2, зачеркнем все остальные четные числа. Первым уцелевшим числом после 2 будет 3. Теперь, оставив число 3, зачеркнем числа, делящиеся на 3. Затем зачеркнем числа, делящиеся на 5. В результате все составные числа окажутся вычеркнутыми и останутся только простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. По этому методу можно составлять списки простых чисел, больших 100.

Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы. Выделялись классы: совершенных чисел (число равное сумме своих собственных делителей, например: 6=1+2+3), дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например 220 и 284: 284=1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142), фигурных чисел (треугольное число, квадратное число), простых чисел и др.

Блез Паскаль Пифагор. Леонардо Пизанский Эратосфен

(Фибоначчи)

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль (1623-1662г.г.). Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать. Вообще, его пример - это классический случай детской математической гениальности. Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машинку, прообраз арифмометра. В ранний период своего творчества (1640-1650г.г.) разносторонний ученый нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, из которого следуют все частные признаки. Его признак состоит в следующем: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа a на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.

Т.о., признаки делимости были известны с давних времен и интересовали математиков.

Глава 2. Признаки делимости

2.1.Признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе.

При изучении данной темы необходимо знать понятия делитель, кратное, простое и составное числа.

Делителем натурального числа а называют натуральное число b , на которое а делится без остатка.

Часто утверждение о делимости числа а на число b выражают другими равнозначными словами: а кратно b , b - делитель а , b делит а .

Простыми называются натуральные числа, которые имеют два делителя: 1 и само число. Например, числа 5,7,19 – простые, т.к. делятся на 1 и само себя.

Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Например, число 14 имеет 4 делителя: 1, 2, 7, 14, значит оно составное.

Т.о…..

2.2.Признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, полученные самостоятельно .

Выполняя действия деления, умножения натуральных чисел, наблюдая за результатами действий, я нашла закономерности и получила следующие признаки делимости.

Признак делимости на 4.

25·4=1 00 ; 56·4=2 24 ; 123·4=4 92 ; 125·4=5 00 ; 2345·4=93 80 ; 2500·4=100 00 ;

Умножая натуральные числа на 4, я заметила, что числа, образованные из двух последних цифр числа, делятся на 4 без остатка.

Признак делимости на 4 читается так: Натуральное ч

Признак делимости на 6.

Заметим, что 6=2·3 Признак делимости на 6 : Если натуральное число одновременно делится на 2 и на 3, то оно делится на 6.

Примеры:

216 делится на 2 (оканчивается 6) и делится на 3 (8+1+6=15, 15׃3), значит, число делится на 6.

Признак делимости на 8.

Умножая натуральное число на 8, я заметила такую закономерность, числа оканчиваются на три 0-ля или три последние цифры составляют число, которое делится на 8.

Значит, признак таков. Натуральное ч

Признак делимости на 15.

Заметим, что 15=3·5

Примеры:

Признак делимости на 25.

Выполняя умножение натуральных различных чисел на 25, я увидела такую закономерность: произведения оканчиваются на 00, 25, 50, 75.

Значит, натуральное число делится на 25, если оканчивается на 00, 25, 50, 75.

Признак делимости на 50.

На 50 делятся числа: 50, 1

Значит, натуральное число делится на 50 тогда и только тогда, когда оканчивается двумя нулями или 50.

Если в конце натурального числа стоят столько же нулей сколько в разрядной единице, то это число делится на эту разрядную единицу.

Примеры:

25600 делится на 100, т.к. числа оканчиваются на одинаковое количество нулей. 8975000 делится на 1000, т.к. оба числа оканчиваются на 000.

Т.о., выполняя действия с числами и подмечая закономерности, я сформулировала признаки делимости и из дополнительной литературы нашла подтверждение правильности сформулированных мною признаков делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000.

2.3.Признаки делимости натуральных чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, описанные в различных источниках.

Из дополнительной литературы я нашла несколько признаков делимости натуральных чисел на 7.

П ризнаки делимости на 7:

Примеры:

479345 не делится на 7, т.к. 479-345=134, 134 не делится на 7.

Примеры:

4592 делится на 7, т.к. 45·2=90, 90+92=182, 182 делится на 7.

57384 не делится на 7, т.к. 573·2=1146, 1146+84=1230,1230 не делится на 7

аbа

Примеры:

bаа

Примеры:

ааb

Примеры:

bаа

Примеры:

10׃7=1 (ост 3)

100׃7=14 (ост 2)

1000׃7=142 (ост 6)

10000׃7=1428 (ост 4)

100000׃7=14285 (ост 5)

6 +3· 2 +1· 3 +6=21, 21/7(6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на 7; 3- ост. от деления 10 на 7).

Число 354722 не делится на7,т.к. 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81, 81 не делится на 7(5-ост. от деления 100 000 на 7; 4 -ост. от деления 10 000 на 7; 6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на 7; 3-ост. от деления 10 на 7).

Признаки делимости на 11.

Пример:

2 1 3 5 7 0 4

1 3 5 2 7 3 6

Примеры:

Признак делимости на 12.

Примеры:

Признаки делимости на 13.

Примеры:

Признак делимости на 14.

Примеры:

Число 35882 делится на 2 и на 7, значит, оно делится на 14.

Признак делимости на 19.

Примеры:

153 4

182 4 182+4·2=190, 190/19, значит, число 1824/19.

Признаки делимости на 37 .

Пример:

Т.о., в се перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:

1группа- когда делимость чисел определяется по последней(им) цифрой (ми) – это признаки делимости на 2, на 5,на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25, на 50;

2 группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа – это признаки делимости на3, на 9, на 7(1 признак), на 11, на 37;

3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа – это признаки делимости на 7, на 11, на 13, на 19;

4 группа – когда для определения делимости числа используются другие признаки делимости –это признаки делимости на 6, на12, на 14, на 15.

Глава 3. Применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач.

Признаки делимости применяются при нахождении НОД и НОК, а также при решении текстовых задач на применении НОД и НОК.

Задача 1:

Ученики 5 класса купили 203 учебника. Каждый купил одинаковое количество книг. Сколько было пятиклассников, и сколько учебников купил каждый из них?

Решение: Обе величины, которые требуется определить должны быть целыми числами, т.е. находиться среди делителей числа 203. Разложив 203 на множители, получаем: 203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

Из практических соображений .

Ответ :

Задача 2 .

Решение:

Ответ:

Задача 3: В 9 классе за контрольную работу 1/7 учеников получили пятёрки, 1/3 – четверки, 1/2 - тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких работ?

Решение:

Математические отношения задачи допускают, что число учеников в классе 84, 126 и т.д. человек. Но из соображений здравого смысла следует, что наиболее приемлемым ответом является число 42.

Ответ: 1 работа.

Задача 4.

Решение : В первом из этих классов могло быть: 17, 34, 51… - числа, кратные 17. Во втором классе: 9, 18, 27, 36, 45, 54… - числа, кратные 9. Нам нужно выбрать 1 число из первой последовательности, а 2 число из второй так, чтобы они в сумме давали 70. Причем в этих последовательностях только небольшое число членов могут выражать возможное количество детей в классе. Это соображение существенно ограничивает перебор вариантов. Возможным единственным вариантом оказалась пара (34, 36).

Ответ:

Задача 5.

Решение:

Ответ:

Задача 6. Два автобуса отправляются от одной площади по разным маршрутам. У одного из автобусов рейс туда и обратно длится 48 мин, а у другого 1 ч 12 мин. Через сколько времени автобусы снова встретятся на этой же площади?

Решение:

Ответ:

Задача 7 . Дана таблица:

Ответ:

Задача 8.

Ответ:

Задача 9.

Ответ:

Т.о, мы убедились в применении признаков делимости натуральных чисел при решении задач.

Заключение.

В процессе работы я познакомилась с историей развития признаков делимости. Сама правильно сформулировала признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000., чему нашла подтверждение из дополнительной литературы. Рботая с разными источниками, я убедилась в том, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел (на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел.

Из дополнительной литературы нашла задачи, при решении которых применяются признаки делимости натуральных чисел.

Знание и использование выше перечисленных признаков делимости натуральных чисел значительно упрощает многие вычисления, экономит время; исключает вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления. Следует отметить, что формулировки некоторых признаков сложноваты. Может быть, поэтому они не изучаются в школе.

Собранный мной материал я оформила в виде брошюры, которую можно использовать на занятиях математикой, на занятиях математического кружка. Учителя математики могут использовать его при изучении данной темы. Также рекомендую ознакомиться со своей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше, чем рядовой школьник.

В дальнейшем можно рассмотреть такие вопросы:

Вывод признаков делимости;

Выяснить,существуют ли еще признаки делимости, для исследования которых у меня не хватает пока знаний?

Список использованной литературы (источников):

Галкин В.А. Задачи по теме «Признаки делимости ».// Математика, 1999.-№5.-С.9.
Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах.- М.: Просвещение, 1984.
Каплун Л.М. НОД и НОК в задачах. // Математика, 1999.- №7. – С. 4-6.
Пельман Я.И. Математика – это интересно! – М.: ТЕРРА – Книжный клуб, 2006.
Энциклопедический словарь юного математика./ Сост. Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989. – С. 352.
Internet

Признаки делимости

На 5.

Если число оканчивается на 0, 5.

На 2.

Если число оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8

На 10.

Если число оканчивается на 0

На 3 (9).

Если сумма цифр числа делится на 3 (9).

Предварительный просмотр:

Ответ:

Задача 8.

Напишите какое – нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11. Напишите наибольшее из таких чисел, наименьшее из них.

Ответ: Наибольшее – 987652413, наименьшее – 102347586.

Задача 9.

Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

Ответ: Может оканчиваться только на цифру 7. Таких чисел 4: 167, 257, 347, 527.

Признак делимости на 2

Если натуральное число оканчивается на 2, 4, 6, 8, 0, то оно делится на 2 без остатка.

Признак делимости на 5.

Если число оканчивается на 0 или 5, то оно делится на 5 без остатка.

Признак делимости на 3

Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3.

Примеры

684: 3, т. к. 6+ 8 + 4=18 , 18: 3, значит и число: на 3.

763 не: на3, т.к. 7+6+3=16, 16 не: на 3,значит 763 не: на 3.

Признак делимости на 9

Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.

Примеры

765: 9, т. к. 7+6+5=18, 18: 9, значит 765: 9

881 не: на9, т.к. 8+8+1=17, 17 не: на 9, значит 881 не: на 9.

Признак делимости на 4.

25·4=1 00 ; 56·4=2 24 ; 123·4=4 92 ; 125·4=5 00 ; 2345·4=93 80 ; 2500·4=100 00 ; …

Натуральное ч исло делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры 0 или образуют число, делящееся на 4.

Признак делимости на 6.

Заметим, что 6=2·3 Признак делимости на 6 :

Если натуральное число одновременно делится на 2 и на 3, то оно делится на 6.

Примеры:

816 делится на 2 (оканчивается 6) и делится на 3 (8+1+6=15, 15׃3), значит, число делится на 6.

625 не делится ни на 2, ни на 3, значит, не делится на 6.

2120 делится на 2 (оканчивается 0), но не делится на 3 (2+1+2+0=5, 5 не делится на 3), значит, число не делится на 6.

279 делится на 3 (2+7+9=18, 18:3), но не делится на 2 (оканчивается нечетной цифрой), значит, число не делится на 6.

Признак делимости на 7.

Ι. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами, делится на 7.

Примеры:

478009 делится на 7, т.к. 478-9=469, 469 делится на 7.

475341 не делится на 7, т.к. 475-341=134, 134 не делится на 7.

ΙΙ. Натуральное число делится на 7, если сумма удвоенного числа, стоящего до десятков и оставшегося числа делится на 7.

Примеры:

4592 делится на 7, т.к. 45·2=90, 90+92=182, 182/7.

мин, а у другого 1 ч 12 мин. Через сколько времени автобусы снова встретятся на этой же площади?

Решение: НОК(48, 72) = 144 (мин). 144 мин = 2 ч 24 мин.

Ответ: Через 2 ч 24 мин автобусы снова встретятся на этой же площади.

Задача 7 . Дана таблица:

В пустые клетки впишите следующие числа: 17, 22, 36, 42, 88, 48, 57, 77, 81.

Решение : В первом из этих классов могло быть: 17, 34, 51… - числа, кратные 17. Во втором классе: 9, 18, 27, 36, 45, 54… - числа, кратные 9. Нам нужно выбрать 1 число из первой последовательности, а 2 число из второй так, чтобы они в сумме давали 70. Причем в этих последовательностях только небольшое число членов могут выражать возможное кол-во детей в классе. Это соображение существенно ограничивает перебор вариантов. Возможным единственным вариантом оказалась пара (34, 36).

Ответ: В первом классе – 34 ученика, во втором классе – 36 учеников.

Задача 5.

Какое наименьшее число одинаковых подарков можно сделать из 320 орехов, 240 конфет, 200 яблок? Сколько орехов, конфет и яблок будет в каждом подарке?

Решение: НОД(320, 240, 200) = 40 (подарков), тогда в каждом подарке будет: 320:40 = 8 (орехов); 240: 40 = 6 (конфет); 200:40 = 5 (яблок).

Ответ: В каждом подарке по 8 орехов, 6 конфет, 5 яблок.

Задача 6.

Два автобуса отправляются от одной площади по разным маршрутам. У одного из автобусов рейс туда и обратно длится 48

57384 не делится на 7, т.к. 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 не делится на 7.

ΙΙΙ. Трехзначное натуральное число вида аbа будет делиться на 7, если а+b делится на 7.

Примеры:

252 делится на 7, т.к. 2+5=7, 7/7.

636 не делится на 7, т.к. 6+3=9, 9 не делится на 7.

IV. Трехзначное натуральное число вида bаа будет делиться на 7, если сумма цифр числа делится на 7.

Примеры:

455 делится на 7, т.к. 4+5+5=14, 14/7.

244 не делится на 7, т.к. 2+4+4=12, 12 не делится на 7.

V. Трехзначное натуральное число вида ааb будет делиться на 7, если 2а-b делится на 7.

Примеры:

882 делится на 7,т.к. 8+8-2=14, 14/7.

996 не делится на 7, т.к. 9+9-6=12, 12 не делится на 7.

VI. Четырехзначное натуральное число вида bаа , где b-двухзначное число, будет делиться на 7, если b+2а делится на 7.

Примеры:

2744 делится на 7, т.к. 27+4+4=35, 35/7.

1955 не делится на 7, т.к. 19+5+5=29, 29 не делится на 7.

VII. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

Примеры:

483 делится на 7, т.к. 48-3·2=42, 42/7.

564 не делится на 7, т.к. 56-4·2=48, 48 не делится на 7.

VIII. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма произведений цифр числа на соответствующие остатки получаемые при делении разрядных единиц на число 7, делится на 7.

Примеры:

10׃7=1 (ост 3)

100׃7=14 (ост 2)

1000׃7=142 (ост 6)

10000׃7=1428 (ост 4)

100000׃7=14285 (ост 5)

1000000׃7=142857 (ост 1) и снова повторяются остатки.

Число 1316 делится на 7, т.к. 1· 6 +3· 2 +1· 3 +6=21, 21/7 (6-остаток от деления 1000 на 7; 2-остаток от деления 100 на 7; 3- остаток от деления 10 на 7).

Число 354722 не делится на7,т.к. 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81, 81 не делится на 7(5-остаток от деления 100 000 на 7; 4 -остаток от деления 10 000 на 7; 6-остаток от деления 1000 на 7; 2-остаток от деления 100 на 7; 3-остаток от деления 10 на 7).

Количество подарков должно быть делителем каждого из чисел, выражающих количество апельсинов, конфет и орехов, причем наибольшим из этих чисел. Поэтому надо найти НОД данных чисел. НОД (60, 175, 225) = 15. Каждый подарок будет содержать: 60: 15 = 4 – апельсина, 175: 15 = 11 – орехов и 225: 15 = 15 – конфет.

Ответ: В одном подарке – 4 апельсина, 11 орехов, 15 конфет.

Задача 3: В 9 классе за контрольную работу 1/7 учеников получили пятёрки, 1/3 – четверки, ½ - тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких работ?

Решение: Решением задачи должно являться число, кратное числам: 7, 3, 2. Найдем сначала наименьшее из таких чисел. НОК (7, 3, 2) = 42. Можно составить выражение по условию задачи: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 неуспевающий.

Математические отношение отношения задачи допускают, что число учеников в классе 84, 126 и т.д. человек. Но из соображений здравого смысла следует, что наиболее приемлемым ответом является число 42.

Ответ: 1 работа.

Задача 4.

В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе 7/17 учеников не явились на занятия, а в другом 2/9 получили отличные отметки по математике. Сколько учеников в каждом классе?

Примеры:

25600 делится на 100, т.к. числа оканчиваются на одинаковое количество нулей.

8975000 делится на 1000, т.к. оба числа оканчиваются на 000.

Задача 1: (Использование общих делителей и НОД)

Ученики 5 «А» класса купили 203 учебника. Каждый купил одинаковое количество книг. Сколько было пятиклассников, и сколько учебников купил каждый из них?

Решение: Обе величины, которые требуется определить должны быть целыми числами, т.е. находиться среди делителей числа 203. Разложив 203 на множители, получаем:

203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

Из практических соображений следует, что учебников не может быть 29. также число учебников не может равняться 1, т.к. в этом случае учеников было бы 203. Значит, пятиклассников – 29 и каждый из них купил по 7 учебников .

Ответ : 29 пятиклассников; 7 учебников

Задача 2 . Имеется 60 апельсинов, 165 орехов и 225 конфет. Какое наибольшее число одинаковых подарков для детей можно сделать из этого запаса? Что войдёт в каждый набор?

Решение:

Признак делимости на 8.

125·8=1 000 ; 242·8=1 936 ; 512·8=4 096 ; 600·8=4 800 ; 1234·8=9 872 ; 122875·8=983 000 ;…

Натуральное ч исло делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры делятся 0 или составляют число, делящееся на 8.

Признаки делимости на 11.

I. Число делится на 11, если разность суммы цифр стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах кратна 11.

Разность может быть отрицательным числом или 0, но обязательно должна быть кратной 11. Нумерация идет слева направо.

Пример:

2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 не кратно 11, значит, это число не делится на 11.

1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 кратно 11, значит, это число делится на 11.

2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 не кратно 11, значит, это число не делится на 11.

1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 кратно 11, значит, это число делится на 11.

II. Натуральное число разбивают справа налево на группы по 2 цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.

Пример: Определим, делится ли число 12561714 на 11.

Разобьем число на группы по две цифры в каждой: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 делится на 11, значит, данное число делится на 11.

III. Трехзначное натуральное число делится на 11, если сумма боковых цифр числа равна цифре, которая в середине. Ответ будет состоять из тех самых боковых цифр.

Примеры:

594 делится на11, т.к. 5+4=9, 9-в середине.

473 делится на 11, т.к. 4+3=7, 7- в середине.

861 не делится на 11, т.к. 8+1=9, а в середине 6.

Признак делимости на 12.

Натуральное число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и 4 одновременно.

Примеры:

636 делится на 3 и на 4, значит, оно делится на 12.

587 не делится ни на 3, ни на 4, значит, оно не делится на 12.

27126 делится на 3, но не делится на 4, значит, оно не делится на 12.

Признаки делимости на 37 .

I. Натуральное число делится на 37, если сумма чисел, образованных тройками цифр данного числа в десятичной записи делится соответственно на 37.

Пример: Определим, делится ли число 100048 на 37.

100/048 100+48=148, 148 делится на 37, значит, и число делится на 37.

II. Трехзначное натуральное число, написанное одинаковыми цифрами делится на 37.

Пример:

Числа 111, 222, 333, 444, 555, …делятся на 37.

Признак делимости на 25

Натуральное число делится на 25, если оно оканчивается на 00, 25, 50, 75.

Признак делимости на 50.

На 50 делятся числа: 50, 1 00 , 1 50 , 2 00 , 2 50 , 3 00 ,… Они оканчиваются либо на 50, либо на 00.

Натуральное число делится на 50 тогда и только тогда, когда оканчивается двумя нулями или 50.

Объединенный признак делимости на 10, 100, 1000, …

Если в конце натурального числа стоят столько же нулей сколько в разрядной единице, то это число делится на эту разряд-

ную единицу.

Признаки делимости на 13.

I. Натуральное число делится на 13, если разность числа тысяч и числа, образованного последними тремя цифрами, делится на 13.

Примеры:

Число 465400 делится на 13, т.к. 465 – 400 = 65, 65 делится на 13.

Число 256184 не делится на 13, т.к. 256 – 184 = 72, 72 не делится на 13.

II. Натуральное число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры, умноженной на 9, из этого числа без последней цифры, делится на 13.

Примеры:

988 делится на 13, т.к. 98 - 9·8 = 26, 26 делится на 13.

853 не делится на 13, т.к. 85 - 3·9 = 58, 58 не делится на 13.

Признак делимости на 14.

Натуральное число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7 одновременно.

Примеры:

Число 45826 делится на 2, но не делится на 7, значит, оно не делится на 14.

Число 1771 делится на 7, но не делится на 2, значит, оно не делится на 14.

Признак делимости на 15.

Заметим, что 15=3·5. Если натуральное число одновременно делится и на 5 и на 3, то оно делится на 15.

Примеры:

346725 делится на 5 (оканчивается 5) и делится на 3 (3+4+6+7+2+5=24, 24:3), значит, число делится на 15.

48732 делится на 3 (4+8+7+3+2=24, 24:3), но не делится на 5,значит, число не делится на 15.

87565 делится на 5 (оканчивается 5), но не делится на 3 (8+7+5+6+5=31, 31 не делится на 3), значит, число не делится на 15.

Признак делимости на 19.

Натуральное число делится на 19 без остатка тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Следует учесть, что число десятков в числе надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.

Примеры:

153 4 десятков-153, 4·2=8, 153+8=161, 161 не делится на 19,значит, и 1534 не делится на 19.

182 4 182+4·2=190, 190:19, значит, число 1824: 19.

ГБОУ СОШ ж.-д. ст. Погрузная

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

НАТУРАЛЬНЫХ

ЧИСЕЛ

Составила Еткарева Алина.

2013 год

Приступим к рассмотрению темы «Признак делимости на 3 ». Начнем с формулировки признака, приведем доказательство теоремы. Затем рассмотрим основные подходы к установлению делимости на 3 чисел, значение которых задано некоторым выражением. В разделе приведен разбор решения основных типов задач, основанных на применении признака делимости на 3 .

Признак делимости на 3 , примеры

Формулируется признак делимости на 3 просто: целое число будет делиться на 3 без остатка, если сумма входящих в его состав цифр делится на 3 . Если суммарное значение всех цифр, которые входят в состав целого числа, на 3 не делится, то и само исходное число на 3 не делится. Получить сумму всех входящих в целое число цифр можно с помощью сложения натуральных чисел.

Теперь рассмотрим примеры применения признака делимости на 3 .

Пример 1

Делится ли на 3 число - 42 ?

Решение

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, сложим все цифры, входящие в состав числа - 42: 4 + 2 = 6 .

Ответ: согласно признаку делимости, раз сумма цифр, входящих с восстав исходного числа, делится на три, то и само исходное число делится на 3 .

Для того, чтобы ответить на вопрос о том, делится ли на 3 число 0 , нам понадобится свойство делимости, согласно которому нуль делится на любое целое число. Получается, что нуль делится на три.

Существуют задачи, для решения которых прибегать в признаку делимости на 3 необходимо несколько раз.

Пример 2

Покажите, что число 907 444 812 делится на 3 .

Решение

Найдем сумму всех цифр, которые образуют запись исходного числа: 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . Теперь нам нужно определить, делится ли на 3 число 39 . Еще раз складываем цифры, входящие в состав этого числа: 3 + 9 = 12 . Нам осталось провести сложение цифр еще раз для того, чтобы получить окончательный ответ: 1 + 2 = 3 . Число 3 делится на 3

Ответ: исходное число 907 444 812 также делится на 3 .

Пример 3

Делится ли на 3 число − 543 205 ?

Решение

Посчитаем сумму цифр, входящих в состав исходного числа: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 . Теперь посчитаем сумму цифр полученного числа: 1 + 9 = 10 . Для того, чтобы получить окончательный ответ, найдем результат еще одного сложения: 1 + 0 = 1 .
Ответ: единица на 3 не делится, значит и исходное число на 3 не делится.

Для того, чтобы определить, делится ли данное число на 3 без остатка, мы можем провести деление данного числа на 3 . Если разделить число − 543 205 из рассмотренного выше примера столбиком на три, то в ответе мы не получим целого числа. Это точно также значит, что − 543 205 на 3 без остатка не делится.

Доказательство признака делимости на 3

Здесь нам понадобятся следующие навыки: разложение числа по разрядам и правило умножения на 10 , 100 и т.д. Для того, чтобы провести доказательство, нам необходимо получить представление числа a вида , где a n , a n − 1 , … , a 0 – это цифры, которые располагаются слева направо в записи числа.

Приведем пример с использованием конкретного числа: 528 = 500 + 20 + 8 = 5 · 100 + 2 · 10 + 8 .

Запишем ряд равенств: 10 = 9 + 1 = 3 · 3 + 1 , 100 = 99 + 1 = 33 · 3 + 1 , 1 000 = 999 + 1 = 333 · 3 + 1 и проч.

А теперь подставим эти равенства вместо 10 , 100 и 1000 в равенства, приведенные ранее a = a n · 10 n + a n - 1 · 10 n - 1 + … + a 2 · 10 2 + a 1 · 10 + a 0 .

Так мы пришли к равенству:

a = a n · 10 n + … + a 2 · 100 + a 1 · 10 + a 0 = = a n · 33 . . . . 3 · 3 + 1 + … + a 2 · 33 · 3 + 1 + a 1 · 3 · 3 + 1 + a 0

А теперь применим свойства сложения и свойства умножения натуральных чисел для того, чтобы переписать полученное равенство следующим образом:

a = a n · 33 . . . 3 · 3 + 1 + . . . + + a 2 · 33 · 3 + 1 + a 1 · 3 · 3 + 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 · a n + a n + . . . + + 3 · 33 · a 2 + a 2 + 3 · 3 · a 1 + a 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 · a n + . . . + + 3 · 33 · a 2 + 3 · 3 · a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 · a n + … + 33 · a 2 + 3 · a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0

Выражение a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 - это сумма цифр исходного числа a . Введем для нее новое краткое обозначение А . Получаем: A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 .

В этом случае представление числа a = 3 · 33 . . . 3 · a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A принимает такой вид, который нам будет удобно использовать для доказательства признака делимости на 3 .

Определение 1

Теперь вспомним следующие свойства делимости:

необходимым и достаточным условием для того, чтобы целое число a делилось на целое число
b , является условие, по которому модуль числа a делится на модуль числа b ;
если в равенстве a = s + t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b .

Мы заложили основу для того, чтобы провести доказательство признака делимости на 3 . Теперь же сформулируем этот признак в виде теоремы и докажем ее.

Теорема 1

Для того, чтобы утверждать, что целое число a делится на 3 , нам необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр, которая образует запись числа a , делилась на 3 .

Доказательство 1

Если взять значение a = 0 , то теорема очевидна.

Если ы возьмем число a , отличное от нуля, то модуль числа a будет натуральным числом. Это позволяет нам записать следующее равенство:

a = 3 · 33 . . . 3 · a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A , где A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 - сумма цифр числа a .

Так как сумма и произведение целых чисел есть целое число, то
33 . . . 3 · a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 - целое число, тогда по определению делимости произведение 3 · 33 . . . 3 · a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 делится на 3 при любых a 0 , a 1 , … , a n .

Если сумма цифр числа a делится на 3 , то есть, A делится на 3 , то в силу свойства делимости, указанного перед теоремой, a делится на 3 , следовательно, a делится на 3 . Так доказана достаточность.

Если a делится на 3 , то и a делится на 3 , тогда в силу того же свойства делимости число
A делится на 3 , то есть, сумма цифр числа a делится на 3 . Так доказана необходимость.

Другие случаи делимости на 3

Целые числа могут быть заданы как значение некоторого выражения, которое содержит переменную, при определенном значении этой переменной. Так, при некотором натуральном n значение выражения 4 n + 3 n - 1 является натуральным числом. В этом случае непосредственное деление на 3 не может дать нам ответ на вопрос, делится ли число на 3 . Применение признака делимости на 3 также может быть затруднено. Рассмотрим примеры таких задач и разберем методы их решения.

Для решения таких задач может быть применено несколько подходов. Суть одного из них заключается в следующем:

представляем исходное выражение как произведение нескольких множителей;
выясняем, может ли хотя бы один из множителей делиться на 3 ;
на основе свойства делимости делаем вывод о том, что все произведение делится на 3 .

В ходе решения часто приходится прибегать к использованию формулы бинома Ньютона.

Пример 4

Делится ли значение выражения 4 n + 3 n - 1 на 3 при любом натуральном n ?

Решение

Запишем равенство 4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 . Применим формулу бинома Ньютона бинома Ньютона:

4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 = = (C n 0 · 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + + C n n - 2 · 3 2 · 1 n - 2 + C n n - 1 · 3 · 1 n - 1 + C n n · 1 n) + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 3 2 + n · 3 + 1 + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 3 2 + 6 n - 3

Теперь вынесем 3 за скобки: 3 · 3 n - 1 + C n 1 · 3 n - 2 + . . . + C n n - 2 · 3 + 2 n - 1 . Полученное произведение содержит множитель 3 , а значение выражения в скобках при натуральных n представляет собой натуральное число. Это позволяет нам утверждать, что полученное произведение и исходное выражение 4 n + 3 n - 1 делится на 3 .

Ответ: Да.

Также мы можем применить метод математической индукции.

Пример 5

Докажите с использованием метода математической индукции, что при любом натуральном
n значение выражения n · n 2 + 5 делится на 3 .

Решение

Найдем значение выражения n · n 2 + 5 при n = 1 : 1 · 1 2 + 5 = 6 . 6 делится на 3 .

Теперь предположим, что значение выражения n · n 2 + 5 при n = k делится на 3 . Фактически, нам придется работать с выражением k · k 2 + 5 , которое, как мы ожидаем, будет делиться на 3 .

Учитывая, что k · k 2 + 5 делится на 3 , покажем, что значение выражения n · n 2 + 5 при n = k + 1 делится на 3 , то есть, покажем, что k + 1 · k + 1 2 + 5 делится на 3 .

Выполним преобразования:

k + 1 · k + 1 2 + 5 = = (k + 1) · (k 2 + 2 k + 6) = = k · (k 2 + 2 k + 6) + k 2 + 2 k + 6 = = k · (k 2 + 5 + 2 k + 1) + k 2 + 2 k + 6 = = k · (k 2 + 5) + k · 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k · (k 2 + 5) + 3 k 2 + 3 k + 6 = = k · (k 2 + 5) + 3 · k 2 + k + 2

Выражение k · (k 2 + 5) делится на 3 и выражение 3 · k 2 + k + 2 делится на 3 , поэтому их сумма делится на 3 .

Так мы доказали, что значение выражения n · (n 2 + 5) делится на 3 при любом натуральном n .

Теперь разберем подход к доказательству делимости на 3 , которых основан на следующем алгоритме действий:

показываем, что значение данного выражения с переменной n при n = 3 · m , n = 3 · m + 1 и n = 3 · m + 2 , где m – произвольное целое число, делится на 3 ;
делаем вывод о том, что выражение будет делиться на 3 при любом целом n .

Для того, чтобы не отвлекать внимание от второстепенных деталей, применим данный алгоритм к решению предыдущего примера.

Пример 6

Покажите, что n · (n 2 + 5) делится на 3 при любом натуральном n .

Решение

Предположим, что n = 3 · m . Тогда: n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = 3 m · 9 m 2 + 5 . Произведение, которое мы получили, содержит множитель 3 , следовательно само произведение делится на 3 .

Предположим, что n = 3 · m + 1 . Тогда:

n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = (3 m + 1) · 9 m 2 + 6 m + 6 = = 3 m + 1 · 3 · (2 m 2 + 2 m + 2)

Произведение, которое мы получили, делится на 3 .

Предположим, что n = 3 · m + 2 . Тогда:

n · n 2 + 5 = 3 m + 1 · 3 m + 2 2 + 5 = 3 m + 2 · 9 m 2 + 12 m + 9 = = 3 m + 2 · 3 · 3 m 2 + 4 m + 3

Это произведение также делится на 3 .

Ответ: Так мы доказали, что выражение n · n 2 + 5 делится на 3 при любом натуральном n .

Пример 7

Делится ли на 3 значение выражения 10 3 n + 10 2 n + 1 при некотором натуральном n .

Решение

Предположим что n = 1 . Получаем:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104

Предположим, что n = 2 . Получаем:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10000 + 1 = 1010001

Так мы можем сделать вывод, что при любом натуральном n мы будем получать числа, которые делятся на 3 . Это значит, что 10 3 n + 10 2 n + 1 при любом натуральном n делится на 3 .

Ответ: Да

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter