Например, при х = -2 предложение 4х = 5х + 2 обращается в истинное числовое равенство 4-(-2) = 5-(-2) + 2, а при х = 1 - в ложное 4-1 = 5-1+2. Поэтому предложение 4х = 5х + 2 есть высказывательная форма. Ее называют уравнением с одной переменной.

В общем виде уравнение с одной переменной можно определить так:

Определение. Пусть f(х) и q(х) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда высказывательная форма вида f(х) = q(х) называется уравнением с одной переменной.

Значение переменной х из множества X, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем уравнения (или его решением). Решить уравнение - это значит найти множество его корней .

Так, корнем уравнения 4х = 5х + 2, если рассматривать его на множестве R действительных чисел, является число -2. Других корней это уравнение не имеет. Значит множество его корней есть {-2}.

Пусть на множестве действительных чисел задано уравнение (х-1)(х+2)=0. Оно имеет два корня - числа 1 и -2. Следовательно, множество корней данного уравнения таково: {-2,- 1}.

Уравнение (3х + 1) × 2 = 6х + 2, заданное на множестве действительных чисел, обращается в истинное числовое равенство при всех действительных значениях переменной х: если раскрыть скобки в левой части, то получим 6х + 2 = 6х + 2. В этом случае говорят, что его корнем является любое действительное число, а множеством корней множество всех действительных чисел.

Уравнение (3х + 1)-2 = 6х + 1, заданное на множестве действительных чисел, не обращается в истинное числовое равенство ни при одном действительном значении х: после раскрытия скобок в левой части получаем, что 6х + 2 = 6х + 1, что невозможно ни при одном х. В этом случае говорят, что данное уравнение не имеет корней и что множество его корней пусто.

Чтобы решить какое-либо уравнение, его сначала преобразовывают, заменяя другим, более простым; полученное уравнение опять преобразовывают, заменяя более простым, и т.д. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не получают уравнение, корни которого можно найти известным способом. Но чтобы эти корни были корнями заданного данного уравнения, необходимо, чтобы в процессе преобразований получились уравнения, множества корней которых совпадают. Такие уравнения называют равносильными.

Определение. Два уравнения f 1 (х) = q 1 (х) и f 2 (х) = q 2 (х) называются равносильными, если множества их корней совпадают.

Например, уравнения х 2 - 9 = 0 и (2х + 6)(х - 3) = 0 равносильны так как оба имеют своими корнями числа 3 и -3. Равносильны и уравнения (3х + 1)-2 = 6х + 1 и х 2 + 1 = 0, так как оба не имеют корней, т.е. множества их корней совпадают.

Определение . Замена уравнения равносильным ему уравнением называется равносильным преобразованием.

Выясним теперь, какие преобразования позволяют получать равносильные уравнения.

Теорема 1 . Пусть уравнение f(х) = q(х) задано на множестве и h(х) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда уравнение f(х) = q(х) (1) и f(х) + h(х) = q(х) + h(х) (2) равносильны.

Доказательство. Обозначим через Т 1 , - множество решений уравнения (1), а через Т 2 - множество решений уравнения (2). Тогда уравнения (1) и (2) будут равносильны, если Т 1 = Т 2 . Чтобы убедиться в этом, необходимо показать, что любой корень из Т 1 является корнем уравнения (2) и, наоборот, любой корень из Т 2 , является корнем уравнения (1).

Пусть число а - корень уравнения (1). Тогда а Î Т 1 , и при подстановке в уравнение (1) обращает его в истинное числовое равенство f(а) = q(а), а выражение h(х) обращает в числовое выражение h(а) имеющее смысл на множестве X. Прибавим к обеим частям истинного равенства f(а) = q(а) числовое выражение h(а). Получим, согласно свойствам истинных числовых равенств, истинное числовое равенство f(а) + h(а) = q(а) + h(а), которое свидетельствует о том, что число а является корнем уравнения (2).

Итак, доказано, что каждый корень уравнения (1) является корнем и уравнения (2), т.е. Т 1 Ì Т 2.

Пусть теперь а - корень уравнения (2). Тогда а Î Т 2 , и при подстановке в уравнение (2) обращает его в истинное числовое равенство f(а) + h(а) = q(а) + h(а). Прибавим к обеим частям этого равенства числовое выражение - h(а). Получим истинное числовое равенство f(а) = q(а), что число а - корень уравнения (1).

Итак, доказано, что каждый корень уравнения (2) является и корнем уравнения (1), т.е. Т 2 Ì Т 1 .

Так как Т 1 Ì Т 2 и Т 2 Ì Т 1 , то по определению равных множеств Т 1 = Т 2 , а значит, уравнения (1) и (2) равносильны.

Данную теорему 1 можно сформулировать иначе : если к обеим частям уравнения с областью определения Х прибавить одно и то же выражение с переменной, определенное на том же множестве, то получим новое уравнение, равносильное данному.

Из этой теоремы вытекают следствия, которые используются при решении уравнений:

1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.

2. Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Пусть уравнение f(х) = q(х), задано на множестве Х и h(х) - выражение, которое определено на том же множестве и не обращается в нуль ни при каких значениях х из множества X. Тогда уравнения f(х) = q(х) и f(х) × h(х) = q(х) × h(х) равносильны.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.

Теорему 2 можно сформулировать иначе : если обе части уравнения с областью определения Х умножить на одно и то же выражение, которое определено на том же множестве и не обращается на нем в нуль, то получим новое уравнение, равносильное данному.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному.

Решим уравнение , х Î R, и обоснуем все преобразования, которые мы будем выполнять в процессе решения.

В этом видео мы разберём целый комплект линейных уравнений, которые решаются по одному и тому же алгоритму — потому и они и называются простейшими.

Для начала определимся: что такое линейное уравнение и какое их них называть простейшим?

Линейное уравнение — такое, в котором присутствует лишь одна переменная, причём исключительно в первой степени.

Под простейшим уравнением подразумевается конструкция:

Все остальные линейные уравнения сводятся к простейшим с помощью алгоритма:

Раскрыть скобки, если они есть;
Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну сторону от знака равенства, а слагаемые без переменной — в другую;
Привести подобные слагаемые слева и справа от знака равенства;
Разделить полученное уравнение на коэффициент при переменной $x$ .

Разумеется, этот алгоритм помогает не всегда. Дело в том, что иногда после всех этих махинаций коэффициент при переменной $x$ оказывается равен нулю. В этом случае возможны два варианта:

Уравнение вообще не имеет решений. Например, когда получается что-нибудь в духе $0\cdot x=8$, т.е. слева стоит ноль, а справа — число, отличное от нуля. В видео ниже мы рассмотрим сразу несколько причин, по которым возможна такая ситуация.
Решение — все числа. Единственный случай, когда такое возможно — уравнение свелось к конструкции $0\cdot x=0$. Вполне логично, что какой бы $x$ мы ни подставили, все равно получится «ноль равен нулю», т.е. верное числовое равенство.

А теперь давайте посмотрим, как всё это работает на примере реальных задач.

Примеры решения уравнений

Сегодня мы занимаемся линейными уравнениями, причем только простейшими. Вообще, под линейным уравнением подразумевается всякое равенство, содержащее в себе ровно одну переменную, и она идет лишь в первой степени.

Решаются такие конструкции примерно одинаково:

Прежде всего необходимо раскрыть скобки, если они есть (как в нашем последнем примере);
Затем свести подобные
Наконец, уединить переменную, т.е. всё, что связано с переменной — слагаемые, в которых она содержится — перенести в одну сторону, а всё, что останется без неё, перенести в другую сторону.

Затем, как правило, нужно привести подобные с каждой стороны полученного равенства, а после этого останется лишь разделить на коэффициент при «иксе», и мы получим окончательный ответ.

В теории это выглядит красиво и просто, однако на практике даже опытные ученики старших классов могут допускать обидные ошибки в достаточно простых линейных уравнениях. Обычно ошибки допускаются либо при раскрытии скобок, либо при подсчёте «плюсов» и «минусов».

Кроме того, бывает так, что линейное уравнение вообще не имеет решений, или так, что решением является вся числовая прямая, т.е. любое число. Эти тонкости мы и разберем в сегодняшнем уроке. Но начнем мы, как вы уже поняли, с самых простых задач.

Схема решения простейших линейных уравнений

Для начала давайте я еще раз напишу всю схему решения простейших линейных уравнений:

Раскрываем скобки, если они есть.
Уединяем переменные, т.е. все, что содержит «иксы» переносим в одну сторону, а без «иксов» — в другую.
Приводим подобные слагаемые.
Разделяем все на коэффициент при «иксе».

Разумеется, эта схема работает не всегда, в ней есть определенные тонкости и хитрости, и сейчас мы с ними и познакомимся.

Решаем реальные примеры простых линейных уравнений

Задача №1

На первом шаге от нас требуется раскрыть скобки. Но их в этом примере нет, поэтому пропускаем данный этап. На втором шаге нам нужно уединить переменные. Обратите внимание: речь идет лишь об отдельных слагаемых. Давайте запишем:

Приводим подобные слагаемые слева и справа, но тут уже это сделано. Поэтому переходим к четвертому шагу: разделить на коэффициент:

\[\frac{6x}{6}=-\frac{72}{6}\]

Вот мы и получили ответ.

Задача №2

В этой задаче мы можем наблюдать скобки, поэтому давайте раскроем их:

И слева и справа мы видим примерно одну и ту же конструкцию, но давайте действовать по алгоритму, т.е. уединяем переменные:

Приведем подобные:

При каких корнях это выполняется. Ответ: при любых. Следовательно, можно записать, что $x$ — любое число.

Задача №3

Третье линейное уравнение уже интересней:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тут есть несколько скобок, однако они ни на что не умножаются, просто перед ними стоят различные знаки. Давайте раскроем их:

Выполняем второй уже известный нам шаг:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Посчитаем:

Выполняем последний шаг — делим все на коэффициент при «икс»:

\[\frac{2x}{x}=\frac{0}{2}\]

Что необходимо помнить при решении линейных уравнений

Если отвлечься от слишком простых задач, то я бы хотел сказать следующее:

Как я говорил выше, далеко не каждое линейное уравнение имеет решение — иногда корней просто нет;
Даже если корни есть, среди них может затесаться ноль — ничего страшного в этом нет.

Ноль — такое же число, как и остальные, не стоит его как-то дискриминировать или считать, что если у вас получился ноль, то вы что-то сделали неправильно.

Еще одна особенность связана с раскрытием скобок. Обратите внимание: когда перед ними стоит «минус», то мы его убираем, однако в скобках знаки меняем на противоположные . А дальше мы можем раскрывать ее по стандартным алгоритмам: мы получим то, что видели в выкладках выше.

Понимание этого простого факта позволит вам не допускать глупые и обидные ошибки в старших классах, когда выполнение подобных действий считается самим собой разумеющимся.

Решение сложных линейных уравнений

Перейдем к более сложным уравнениям. Теперь конструкции станут сложнее и при выполнении различных преобразований возникнет квадратичная функция. Однако не стоит этого бояться, потому что если по замыслу автора мы решаем линейное уравнение, то в процессе преобразования все одночлены, содержащие квадратичную функцию, обязательно сократятся.

Пример №1

Очевидно, что первым делом нужно раскрыть скобки. Давайте это сделаем очень аккуратно:

Теперь займемся уединением:

\[-x+6{{x}^{2}}-6{{x}^{2}}+x=-12\]

Приводим подобные:

Очевидно, что у данного уравнения решений нет, поэтому в ответе так и запишем:

\[\varnothing \]

или корней нет.

Пример №2

Выполняем те же действия. Первый шаг:

Перенесем все, что с переменной, влево, а без нее — вправо:

Приводим подобные:

Очевидно, что данное линейное уравнение не имеет решения, поэтому так и запишем:

\[\varnothing \],

либо корней нет.

Нюансы решения

Оба уравнения полностью решены. На примере этих двух выражений мы ещё раз убедились, что даже в самых простых линейных уравнениях всё может быть не так просто: корней может быть либо один, либо ни одного, либо бесконечно много. В нашем случае мы рассмотрели два уравнения, в обоих корней просто нет.

Но я бы хотел обратить ваше внимание на другой факт: как работать со скобками и как их раскрывать, если перед ними стоит знак «минус». Рассмотрим вот это выражение:

Прежде чем раскрывать, нужно перемножить всё на «икс». Обратите внимание: умножается каждое отдельное слагаемое . Внутри стоит два слагаемых — соответственно, два слагаемых и умножается.

И только после того, когда эти, казалось бы, элементарные, но очень важные и опасные преобразования выполнены, можно раскрывать скобку с точки зрения того, что после неё стоит знак «минус». Да, да: только сейчас, когда преобразования выполнены, мы вспоминаем, что перед скобками стоит знак «минус», а это значит, что все, что в низ, просто меняет знаки. При этом сами скобки исчезают и, что самое главное, передний «минус» тоже исчезает.

Точно также мы поступаем и со вторым уравнением:

Я не случайно обращаю внимание на эти мелкие, казалось бы, незначительные факты. Потому что решение уравнений — это всегда последовательность элементарных преобразований, где неумение чётко и грамотно выполнять простые действия приводит к тому, что ученики старших классов приходят ко мне и вновь учатся решать вот такие простейшие уравнения.

Разумеется, придёт день, и вы отточите эти навыки до автоматизма. Вам уже не придётся каждый раз выполнять столько преобразований, вы всё будете писать в одну строчку. Но пока вы только учитесь, нужно писать каждое действие отдельно.

Решение ещё более сложных линейных уравнений

То, что мы сейчас будем решать, уже сложно назвать простейшими задача, однако смысл остается тем же самым.

Задача №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21{{x}^{2}}=3\]

Давайте перемножим все элементы в первой части:

Давайте выполним уединение:

Приводим подобные:

Выполняем последний шаг:

\[\frac{-4x}{4}=\frac{4}{-4}\]

Вот наш окончательный ответ. И, несмотря на то, что у нас в процессе решения возникали коэффициенты с квадратичной функцией, однако они взаимно уничтожились, что делает уравнение именно линейным, а не квадратным.

Задача №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Давайте аккуратно выполним первый шаг: умножаем каждый элемент из первой скобки на каждый элемент из второй. Всего должно получиться четыре новых слагаемых после преобразований:

А теперь аккуратно выполним умножение в каждом слагаемом:

Перенесем слагаемые с «иксом» влево, а без — вправо:

\[-3x-4x+12{{x}^{2}}-12{{x}^{2}}+6x=-1\]

Приводим подобные слагаемые:

Мы вновь получили окончательный ответ.

Нюансы решения

Важнейшее замечание по поводу этих двух уравнений состоит в следующем: как только мы начинаем умножать скобки, в которых находится более чем оно слагаемое, то выполняется это по следующему правилу: мы берем первое слагаемое из первой и перемножаем с каждым элементом со второй; затем берем второй элемент из первой и аналогично перемножаем с каждым элементом со второй. В итоге у нас получится четыре слагаемых.

Об алгебраической сумме

На последнем примере я хотел бы напомнить ученикам, что такое алгебраическая сумма. В классической математике под $1-7$ мы подразумеваем простую конструкцию: из единицы вычитаем семь. В алгебре же мы подразумеваем под этим следующее: к числу «единица» мы прибавляем другое число, а именно «минус семь». Этим алгебраическая сумма отличается от обычной арифметической.

Как только при выполнении всех преобразований, каждого сложения и умножения вы начнёте видеть конструкции, аналогичные вышеописанным, никаких проблем в алгебре при работе с многочленами и уравнениями у вас просто не будет.

В заключение давайте рассмотрим ещё пару примеров, которые будут ещё более сложными, чем те, которые мы только что рассмотрели, и для их решения нам придётся несколько расширить наш стандартный алгоритм.

Решение уравнений с дробью

Для решения подобных заданий к нашему алгоритму придется добавить еще один шаг. Но для начала я напомню наш алгоритм:

Раскрыть скобки.
Уединить переменные.
Привести подобные.
Разделить на коэффициент.

Увы, этот прекрасный алгоритм при всей его эффективности оказывается не вполне уместным, когда перед нами дроби. А в том, что мы увидим ниже, у нас и слева, и справа в обоих уравнениях есть дробь.

Как работать в этом случае? Да всё очень просто! Для этого в алгоритм нужно добавить ещё один шаг, который можно совершить как перед первым действием, так и после него, а именно избавиться от дробей. Таким образом, алгоритм будет следующим:

Избавиться от дробей.
Раскрыть скобки.
Уединить переменные.
Привести подобные.
Разделить на коэффициент.

Что значит «избавиться от дробей»? И почему выполнять это можно как после, так и перед первым стандартным шагом? На самом деле в нашем случае все дроби являются числовыми по знаменателю, т.е. везде в знаменателе стоит просто число. Следовательно, если мы обе части уравнения домножим на это число, то мы избавимся от дробей.

Пример №1

\[\frac{\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)}{4}={{x}^{2}}-1\]

Давайте избавимся от дробей в этом уравнении:

\[\frac{\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4}{4}=\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot 4\]

Обратите внимание: на «четыре» умножается все один раз, т.е. если у вас две скобки, это не значит, что каждую из них нужно умножать на «четыре». Запишем:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot 4\]

Теперь раскроем:

Выполняем уединение переменной:

Выполняем приведение подобных слагаемых:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac{-4x}{-4}=\frac{-1}{-4}\]

Мы получили окончательное решение, переходим ко второму уравнению.

Пример №2

\[\frac{\left(1-x \right)\left(1+5x \right)}{5}+{{x}^{2}}=1\]

Здесь выполняем все те же действия:

\[\frac{\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5}{5}+{{x}^{2}}\cdot 5=5\]

\[\frac{4x}{4}=\frac{4}{4}\]

Задача решена.

Вот, собственно, и всё, что я хотел сегодня рассказать.

Ключевые моменты

Ключевые выводы следующие:

Знать алгоритм решения линейных уравнений.
Умение раскрывать скобки.
Не стоит переживать, если где-то у вас появляются квадратичные функции, скорее всего, в процессе дальнейших преобразований они сократятся.
Корни в линейных уравнениях, даже самых простых, бывают трех типов: один единственный корень, вся числовая прямая является корнем, корней нет вообще.

Надеюсь, этот урок поможет вам освоить несложную, но очень важную для дальнейшего понимания всей математики тему. Если что-то непонятно, заходите на сайт, решайте примеры, представленные там. Оставайтесь с нами, вас ждет еще много интересного!

Уравнение - это равенство, содержащее переменную, обозначенную буквой.

Корень уравнения (или решение уравнения) - это такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.

Пример: решим уравнение (то есть найдем корень уравнения): 4x - 15 = x + 15

Итак:

4х - х = 15 + 15

3х = 30

х = 30: 3

х = 10

Результат: уравнение имеет один корень - число 10.

Уравнение может иметь и два, три, четыре и более корней.
Например, уравнение (х - 4)(х - 5)(х - 6) = 0 имеет три корня: 4, 5 и 6.

Уравнение может вовсе не иметь корней.
Например, уравнение х + 2 = х не имеет корней, т.к. при любом значении х равенство невозможно.

Равносильность уравнений.

Два уравнения являются равносильными, если они имеют одинаковые корни либо если оба уравнения не имеют корней.

Пример1 :

Уравнения х + 3 = 5 и 3х - 1 = 5 равносильны, так как в обоих уравнениях х = 2.

Пример 2 :

Уравнения х 4 + 2 = 1 и х 2 + 5 = 0 равносильны, так как оба уравнения не имеют корней.

Целое уравнение с одной переменной - это уравнение, левая и правая части которого являются целыми выражениями (о целых выражениях см.раздел «Рациональные выражения»).

Уравнение с одной переменной может быть записано в виде P (x ) = 0, где P (x ) - многочлен стандартного вида.

Например:
y 2 + 3y - 6 = 0
(здесь P (x ) представлен в виде многочлена y 2 + 3y - 6).

В таком уравнении степень многочлена называют степенью уравнения .

В нашем примере представлено уравнение второй степени (так как в нем многочлен второй степени).

Уравнение первой степени.

Уравнение первой степени можно привести к виду:

ax + b = 0,

где x - переменная, a и b - некоторые числа, причем a ≠ 0.

Отсюда легко вывести значение x :

b
x = - —
a

Это значение x является корнем уравнения.

Уравнения первой степени имеют один корень.

Уравнение второй степени.

Уравнение второй степени можно привести к виду:

ax 2 + bx + c = 0,

где x - переменная, a, b, c - некоторые числа, причем a ≠ 0.

Число корней уравнения второй степени зависит от дискриминанта:

Если D > 0, то уравнение имеет два корня;

Если D = 0, то уравнение имеет один корень;

Если D < 0, то уравнение корней не имеет.

Уравнение второй степени может иметь не более двух корней.

(о том, что такое дискриминант и как находить корни уравнения, см.разделы «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант» и «Другой способ решения квадратного уравнения»).

Уравнение третьей степени.

Уравнение третьей степени можно привести к виду:

ax 3 + bx 2 + cx + d = 0,

где x - переменная, a, b, c, d - некоторые числа, причем a ≠ 0.

Уравнение третьей степени может иметь не более трех корней.

Уравнение четвертой степени.

Уравнение четвертой степени можно привести к виду:

ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0,

где x - переменная, a, b, c, d, e - некоторые числа, причем a ≠ 0.

Уравнение третьей степени может иметь не более четырех корней.

Обобщение:

1) уравнение пятой, шестой и т.д. степеней можно легко вывести самостоятельно, следуя приведенной выше схеме;

2) уравнение n -й степени может иметь не более n корней.

Пример 1 : Решим уравнение

x 3 - 8x 2 - x + 8 = 0.

Мы видим, что это уравнение третьей степени. Значит, у него может быть от нуля до трех корней.
Найдем их и тем самым решим уравнение.
Разложим левую часть уравнения на множители:

x 2 (x - 8) - (x - 8) = 0.

Применим правило разложения многочлена способом группировки его членов. Для этого поставим перед вторыми скобками число 1:

x 2 (x - 8) - 1(x - 8) = 0.

Теперь сгруппируем многочлены x 2 и -1, являющиеся множителями многочлена x -8. Получим две группы многочленов: (x 2 -1) и (x - 8). Следовательно, наше уравнение примет новый вид:

(x - 8)(x 2 - 1) = 0.

Здесь выражение x 2 - 1 можно представить в виде x 2 - 1 2 . А значит, можем применить формулу сокращенного умножения: x 2 - 1 2 = (x - 1)(x + 1). Подставим в наше уравнение это выражение и получим:

(x - 8)(x - 1)(x + 1) = 0.

x - 8 = 0

x - 1 = 0

x + 1 = 0

Осталось найти корни нашего уравнения:

x 1 = 0 + 8 = 8

x 2 = 0 + 1 = 1

x 3 = 0 - 1 = -1.

Уравнение решено. Оно имеет три корня: 8, 1 и -1.

Пример 2 : Решим уравнение

(x 2 - 5x + 4)(x 2 - 5x +6) = 120

Это уравнение сложнее. Но его можно упростить оригинальным образом - методом введения новой переменной.
В нашем уравнении дважды встречается выражение x 2 - 5x .
Мы можем обозначить его переменной y . То есть представим, что x 2 - 5x = y .

Тогда наше уравнение обретает более простой вид:

(y + 4)(y + 6) = 120.

Раскроем скобки:

y 2 + 4y + 6y + 24 = 120

y 2 + 10y + 24 = 120

Приравняем уравнение к нулю:

y 2 + 10y + 24 - 120 = 0

y 2 + 10y - 96 = 0

Мы получили обычное квадратное уравнение. Найдем его корни. Нет необходимости производить расчеты: о том, как решать подобные уравнения, подробно написано в разделах «Квадратные уравнения» и «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант». Здесь же мы сразу выведем результат. Квадратное уравнение y 2 + 10y - 96 = 0 имеет два корня:

y 1 = -16

y 2 = 6

Буквой y мы заменили выражение x 2 - 5x . А значит, мы уже можем подставить значения y и найти корни заданного уравнения, тем самым решив задачу:

1) Сначала применяем значение y 1 = -16:

x 2 - 5x = -16

Чтобы решить это уравнение, превращаем его в квадратное уравнение:

x 2 - 5x + 16 = 0

Решив его, мы обнаружим, что оно не имеет корней.

2) Теперь применяем значение y 2 = 6:

x 2 - 5x = 6

x 2 - 5x - 6 = 0

Решив это квадратное уравнение, мы увидим, что у него два корня:

x 1 = -1

x 2 = 6.

Уравнение решено. Оно имеет два корня: -1 и 6.

Метод введения новой переменной позволяет легко решать уравнения четвертой степени, которые являются квадратными относительно x 2 (такие уравнения называют биквадратными ).

Лекция 26. Уравнения с одной переменной

1. Понятие уравнения с одной переменной

2. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений

3. Решение уравнений с одной переменной

Уравнения с одной переменной

Возьмем два выражения с переменной: 4 х и 5 х + 2. Соединив их знаком равенства, получим предложение 4х = 5 х + 2. Оно содержит переменную и при подстановке значений переменной обращается в высказывание. Например, при х = -2 предложение 4х = 5 х + 2 обращается в истинное числовое равенство 4 ·(-2) = 5 ·(-2) + 2, а при х = 1 - в ложное 4·1 = 5·1 + 2. Поэтому предложение 4х = 5х + 2 есть высказывательная форма. Ее называют уравнением с одной переменной.

В общем виде уравнение с одной переменной можно определить так:

Определение. Пусть f(х) и g(х) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда высказывательная форма вида f(х) =g(х) называется уравнением с одной переменной.

Значение переменной х из множества X, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем уравнения (или его решением). Решить уравнение - это значит найти множество его корней.

Так, корнем уравнения 4х = 5х + 2, если рассматривать его на множестве R действительных чисел, является число -2. Других корней это уравнение не имеет. Значит множество его корней есть {-2}.

Пусть на множестве действительных чисел задано уравнение (х - 1)(х + 2) = 0. Оно имеет два корня - числа 1 и -2. Следовательно, множество корней данного уравнения таково: {-2,-1}.

Уравнение (3х + 1)-2 = 6 х + 2, заданное на множестве действительных чисел, обращается в истинное числовое равенство при всех действительных значениях переменной х : если раскрыть скобки в левой части, то получим 6х + 2 = 6х + 2. В этом случае говорят, что его корнем является любое действительное число, а множеством корней множество всех действительных чисел.

Уравнение (3х + 1)·2 = 6 х + 1, заданное на множестве действительных чисел, не обращается в истинное числовое равенство ни при одном действительном значении х: после раскрытия скобок в левой части получаем, что 6 х + 2 = 6х + 1, что невозможно ни при одном х. В этом случае говорят, что данное уравнение не имееткорней и что множество его корней пусто.

Чтобы решить какое-либо уравнение, его сначала преобразовывают, заменяя другим, более простым; полученное уравнение опять преобразовывают, заменяя более простым, и т.д. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не получают уравнение, корни которого можно найти известным способом. Но чтобы эти корни были корнями заданного уравнения, необходимо, чтобы в процессе преобразований получились уравнения, множества корней которых совпадают. Такие уравнения называют равносильными.

При изучении русского языка в школе многие задавались вопросом: почему слово равнина пишется через а , ведь проверочное слово ровный пишется через о ? На самом деле ответ прост. Ведь равнина так называется потому, что все ее точки находятся на равном расстоянии (от уровня моря) и проверочное слово для неё — равно .

Определение: Уравнением с переменной x называется равенство вида A(x)=B(x), где A(x) и B(x) — выражения от x. Множество T значений x при подстановке которых в уравнение получается истинное числовое равенство, называют множеством истинности данного уравнения или решением данного уравнения, а каждое такое значение переменной — корнем уравнения .

Таким образом становится понятно, что основа любого уравнения это равенств о двух его частей. И когда при решении уравнений производятся над его частями это равенство всегда должно соблюдаться.

Методы решения уравнений с одной переменной

Существует огромное количество самых разнообразных видов уравнений для решения которых используются разные способы. Но для того чтобы легко решать уравнения вам необходимо знать три основных метода:

Тождественное преобразование уравнений

Разложение выражения на множители

Введение новой переменной

Тождественные преобразования уравнений

Наиболее простым и в то же время одним из самых распространенных способов решения уравнений является метод тождественных преобразований. В любых уравнениях для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходный пример. Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть уравнения не менялась. Такие преобразования называются тождественными или равносильными. Рассмотрим основные способы тождественных преобразований алгебраических выражений.

Примеры и формулы тождественных преобразований:

Первое тождественное преобразование: к обеим частям любого уравнения можно прибавить (отнять) любое (но одно и то же!) число или выражение (в том числе и выражение с неизвестным!). Суть уравнения от этого не меняется.

Пример: 9x 2 + 12x + 10 = 15x + 10 → отнимем десять из обоих частей → 9x 2 + 12x = 15x

Второе тождественное преобразование : перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками.

Пример: 9x 2 + 12x = 15x → перенесем 15х влево → 9x 2 + 12x — 15x =0. После упрощения получаем: 9x 2 - 3x =0

Третье тождественное преобразование: обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение. Здесь уже появляется понятное ограничение: на ноль умножать глупо, а делить и вовсе нельзя.

Пример: 9x 2 - 3x =0 → разделим обе части уравнения на три → 3x 2 - x =0

Четвертое тождественное преобразование: можно возвести обе части уравнения в нечётную степень или извлечь из обеих частей уравнения корень нечётной степени . Необходимо помнить, что:

а) возведение в чётную может привести к приобретению посторонних корней ;
б) неправильное извлечение корня чётной степени может привести к потере корней .

Пример: 49x 2 = 1225 → извлечем корень квадратный из обеих частей → | 7x | = 35

Разложение выражения на множители

Перечислим теперь некоторые наиболее распространённые приёмы разложения многочленов, как наиболее простых алгебраических , на множители.

Вынесение общего множителя за скобку

В том случае, когда все члены многочлена имеют один и тот же общий множитель, его можно вынести за скобку, получая тем самым разложение многочлена.
Пример: Разложить на множители многочлен х 5 – 2х 3 +х 2 .
Решение: Каждое слагаемое этого многочлена содержит множитель х 2 . Вынесем его за скобку и получим ответ:

х 5 – 2х 3 +х 2 = х 2 (х 3 – 2x + 1).

Применение формул сокращённого умножения

Сокращения довольно эффективно применяются при разложении многочлена на множители. Полезно помнить следующие формулы:

1.Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

2.Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

(a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2

3.Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.

(a+b)(a-b)=a 2 -b 2

4.Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй.

(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

5.Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.

(a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3

6. Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.

(a+b)(a 2 -ab+b 2)=a 3 +b 3

7. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.

(a-b)(a 2 +ab+b 2)=a 3 -b 3

Пример: (3х+5) 2 =9х 2 +30х+25=0

Решение: используя формулу (1) 9х 2 +30х+25= (3х+5) 2

Применение выделения полного квадрата

Без преувеличения можно сказать, что метод выделения полного квадрата является одним из наиболее эффективных методов разложения на множители, применяемых при сдаче и