В некоторых случаях, точное число при делении определенной суммы на конкретное число невозможно определить в принципе. Например, при делении 10 на 3, у нас получается 3,3333333333…..3, то есть, данное число невозможно использовать для подсчета конкретных предметов и в других ситуациях. Тогда данное число следует привести к определенному разряду, например, к целому числу или к числу с десятичным разрядом. Если мы приведем 3,3333333333…..3 к целому числу, то получим 3, а приводя 3,3333333333…..3 к числу с десятичным разрядом, получим 3,3.

Правила округления

Что такое округление? Это отбрасывание нескольких цифр, которые являются последними в ряду точного числа. Так, следуя нашему примеру, мы отбросили все последние цифры, чтобы получить целое число (3) и отбросили цифры, оставив только разряды десятков (3,3). Число можно округлять до сотых и тысячных, десятитысячных и прочих чисел. Все зависит от того, насколько точное число необходимо получить. Например, при изготовлении медицинских препаратов, количество каждого из ингредиентов лекарства берется с наибольшей точностью, поскольку даже тысячная грамма может привести к летальному исходу. Если же необходимо подсчитать, какая успеваемость учеников в школе, то чаще всего используется число с десятичным или с сотым разрядом.

Рассмотрим иной пример, в котором применяются правила округления. Например, имеется число 3,583333, которое необходимо округлить до тысячных - после округления, за запятой у нас должно остаться три цифры, то есть результатом станет число 3,583. Если же это число округлять до десятых, то у нас получится не 3,5, а 3,6, поскольку после «5» стоит цифра «8», которая приравнивается уже к «10» во время округления. Таким образом, следуя правилам округления чисел, необходимо знать, если цифры больше «5», то последняя цифра, которую необходимо сохранить, будет увеличена на 1. При наличии цифры, меньшей, чем «5», последняя сохраняемая цифра остается неизменной. Такие правила округления чисел применяются независимо от того, до целого числа или до десятков, сотых и т.д. необходимо округлить число.

В большинстве случаев, при необходимости округления числа, в котором последняя цифра «5», этот процесс выполняется неправильно. Но существует еще и такое правило округления, которое касается именно таких случаев. Рассмотрим на примере. Необходимо округлить число 3,25 до десятых. Применяя правила округления чисел, получим результат 3,2. То есть, если после «пяти» нет цифры или стоит ноль, то последняя цифра остается неизменной, но только при условии, что она является четной - в нашем случае «2» - это четная цифра. Если бы нам необходимо было выполнить округление 3,35, то результатом бы стало число 3,4. Поскольку, в соответствии с правилами округления, при наличии нечетной цифры перед «5», которую необходимо убрать, нечетная цифра увеличивается на 1. Но только при условии, что после «5» нет значащих цифр. Во многих случаях, могут применяться упрощенные правила, согласно которым, при наличии за последней сохраняемой цифрой значений цифр от 0 до 4, сохраняемая цифра не изменяется. При наличии других цифр, последняя цифра увеличивается на 1.

Чтобы рассмотреть особенность округления того или иного числа, необходимо проанализировать конкретные примеры и некоторую основную информацию.

Как округлять числа до сотых

Для округления числа до сотых необходимо оставлять после запятой две цифры, остальные, конечно же, отбрасываются. Если первая цифра, которая отбрасывается, это 0, 1, 2, 3 или 4, то предыдущая цифра остается неизменной.
Если же отбрасываемая цифра – это 5, 6, 7, 8 или 9, то нужно увеличить предыдущую цифру на единицу.
К примеру, если нужно округлить число 75,748 , то после округления мы получаем 75,75 . Если мы имеем 19,912 , то в результате округления, а точнее, в отсутствии необходимости его использования, мы получаем 19,91 . В случае с 19,912 цифра, которая идет после сотых, не округляется, поэтому она просто отбрасывается.
Если речь идет о числе 18,4893 , то округление до сотых происходит следующим образом: первая цифра, которую нужно отбросить, это 3, поэтому никаких изменений не происходит. Получается 18,48 .
В случае с числом 0,2254 мы имеем первую цифру, которая отбрасывается при округлении до сотых. Это пятерка, которая указывает на то, что предыдущее число нужно увеличить на единицу. То есть, мы получаем 0,23 .
Бывают и случаи, когда округления изменяет все цифры в числе. К примеру, чтобы округлить до сотых число 64,9972 , мы видим, что число 7 округляет предыдущие. Получаем 65,00 .

Как округлять числа до целых

При округлении чисел до целых ситуация такая же. Если мы имеем, к примеру, 25,5 , то после округления мы получаем 26 . В случае с достаточным количеством цифр после запятой округление происходит таким образом: после округления 4,371251 мы получаем 4 .

Округление до десятых происходит таким же образом, как и в случае с сотыми. К примеру, если нужно округлить число 45,21618 , то мы получаем 45,2 . Если вторая цифра после десятой – это 5 или больше, то предыдущая цифра увеличивается на единицу. В качестве примера можно округлить 13,6734 , и в итоге получится 13,7 .

Важно обращать внимание на цифру, которая расположена перед той, которая отсекается. К примеру, если мы имеет число 1,450 , то после округления получаем 1,4 . Однако в случае с 4,851 целесообразно округлять до 4,9 , так как после пятерки еще идет единица.

В приближенных вычислениях зачастую приходится округлять некоторые числа, как приближенные, так и точные, то есть убирать одну или несколько конечных цифр. Для того чтобы обеспечить наибольшую близость отдельного округленного числа к округляемому числу, следует соблюдать некоторые правила.

Если первая из отделяемых цифр больше, чем число 5 , то последняя из оставляемых цифр усиливается, иначе говоря, увеличивается на единицу. Усиление так же предполагается и тогда, когда первая из убираемых цифр равна 5 , а за ней имеется одна или некоторое количество значащих цифр.

Число 25,863 округлённо записывается как – 25,9 . В данном случае цифра 8 будет усилена до 9 , так как первая отсекаемая цифра 6 , больше чем 5 .

Число 45,254 округлённо записывается как – 45,3 . Здесь цифра 2 будет усилена до 3 , так как первая отсекаемая цифра равна 5 , а за ней следует значащая цифра 1 .

В случае если первая из отсекаемых цифр меньше чем 5 , то усиления не производится.

Число 46,48 округлённо записывается как – 46 . Число 46 наиболее близко к округляемому числу, чем 47 .

Если отсекается цифра 5 , а за ней не имеется значащих цифр, то округление выполняется на ближайшее четное число, другими словами, последняя оставляемая цифра остаётся неизменной, если она четная, и усиливается в случае, если она нечетная.

Число 0,0465 округлённо записывается как – 0,046 . В данном случае усиления не делается, так как последняя оставляемая цифра 6 является чётной.

Число 0,935 округлённо записывается как – 0,94 . Последняя оставляемая цифра 3 усиливается, так как она является нечётной.

Округление чисел

Числа округляют, когда полная точность не нужна или невозможна.

Округлить число до определенной цифры (знака), значит заменить его близким по значению числом с нулями на конце.

Натуральные числа округляют до десятков, сотен, тысяч и т.д. Названия цифр в разрядах натурального числа можно вспомнить в теме натуральные числа.

В зависимости от того, до какого разряда надо округлить число, мы заменяем нулями цифру в разрядах единиц, десятков и т.д.

Если число округляется до десятков, то нулями заменяем цифру в разряде единицы.

Если число округляется до сотен, то цифра ноль должна стоять и в разряде единиц, и в разряде десятков.

Число, полученное при округлении, называют приближённым значением данного числа.

Записывают результат округления после специального знака « ≈ ». Этот знак читается как «приближённо равно».

При округлении натурального числа до какого-либо разряда надо воспользоваться правилами округления .

Подчеркнуть цифру разряда, до которого надо округлить число.
Отделить все цифры, стоящие справа этого разряда вертикальной чертой.
Если справа от подчёркнутой цифры стоит цифра 0, 1, 2, 3 или 4 , то все цифры, которые отделены справа, заменяются нулями. Цифру разряда, до которой округляли, оставляем без изменений.
Если справа от подчёркнутой цифры стоит цифра 5, 6, 7, 8 или 9 , то все цифры, которые отделены справа, заменяются нулями, а к цифре разряда, до которой округляли, прибавляется 1 .

Поясним на примере. Округлим 57 861 до тысяч. Выполним первые два пункта из правил округления.

После подчёркнутой цифры стоит цифра 8 , значит к цифре разряда тысяч (у нас это 7) прибавим 1 , а все цифры, отделённые вертикальной чертой заменим нулями.

Теперь округлим 756 485 до сотен.

Округлим 364 до десятков.

3 6 |4 ≈ 360 - в разряде единиц стоит 4 , поэтому мы оставляем 6 в разряде десятков без изменений.

На числовой оси число 364 заключено между двумя «круглыми» числами 360 и 370 . Эти два числа называют приближёнными значениями числа 364 с точностью до десятков.

Число 360 - приближённое значение с недостатком , а число 370 - приближённое значение с избытком .

В нашем случае, округлив 364 до десятков, мы получили, 360 - приближённое значение с недостатком.

Округлённые результаты часто записывают без нулей, добавляя сокращения «тыс.» (тысяча), «млн.» (миллион) и «млрд.» (миллиард).

8 659 000 = 8 659 тыс.
3 000 000 = 3 млн.

Округление также применяется для прикидочной проверки ответа в вычислениях.

До точного вычисления сделаем прикидку ответа, округлив множители до наивысшего разряда.

794 · 52 ≈ 800 · 50 ≈ 40 000

Делаем вывод, что ответ будет близок к 40 000 .

794 · 52 = 41 228

Аналогично можно выполнять прикидку округлением и при делении чисел.

Правила округления

Рассмотрим иной пример, в котором применяются правила округления. Например, имеется число 3,583333, которое необходимо округлить до тысячных – после округления, за запятой у нас должно остаться три цифры, то есть результатом станет число 3,583. Если же это число округлять до десятых, то у нас получится не 3,5, а 3,6, поскольку после «5» стоит цифра «8», которая приравнивается уже к «10» во время округления. Таким образом, следуя правилам округления чисел, необходимо знать, если цифры больше «5», то последняя цифра, которую необходимо сохранить, будет увеличена на 1. При наличии цифры, меньшей, чем «5», последняя сохраняемая цифра остается неизменной. Такие правила округления чисел применяются независимо от того, до целого числа или до десятков, сотых и т.д. необходимо округлить число.

В большинстве случаев, при необходимости округления числа, в котором последняя цифра «5», этот процесс выполняется неправильно. Но существует еще и такое правило округления, которое касается именно таких случаев. Рассмотрим на примере. Необходимо округлить число 3,25 до десятых. Применяя правила округления чисел, получим результат 3,2. То есть, если после «пяти» нет цифры или стоит ноль, то последняя цифра остается неизменной, но только при условии, что она является четной – в нашем случае «2» — это четная цифра. Если бы нам необходимо было выполнить округление 3,35, то результатом бы стало число 3,4. Поскольку, в соответствии с правилами округления, при наличии нечетной цифры перед «5», которую необходимо убрать, нечетная цифра увеличивается на 1. Но только при условии, что после «5» нет значащих цифр. Во многих случаях, могут применяться упрощенные правила, согласно которым, при наличии за последней сохраняемой цифрой значений цифр от 0 до 4, сохраняемая цифра не изменяется. При наличии других цифр, последняя цифра увеличивается на 1.

5.5.7. Округление чисел

Чтобы округлить число до какого-либо разряда – подчеркнем цифру этого разряда, а затем все цифры, стоящие за подчеркнутой, заменяем нулями, а если они стоят после запятой – отбрасываем. Если первая замененная нулем или отброшенная цифра равна 0, 1, 2, 3 или 4, то подчеркнутую цифру оставляем без изменения . Если первая замененная нулем или отброшенная цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9, то подчеркнутую цифру увеличиваем на 1.

Примеры.

Округлить до целых:

1) 12,5; 2) 28,49; 3) 0,672; 4) 547,96; 5) 3,71.

Решение. Подчеркиваем цифру, стоящую в разряде единиц (целых) и смотрим на цифру, стоящую за ней. Если это цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то подчеркнутую цифру оставляем без изменения, а все цифры после нее отбрасываем. Если же за подчеркнутой цифрой стоит цифра 5 или 6 или 7 или 8 или 9, то подчеркнутую цифру увеличим на единицу.

1) 1 2 ,5≈13;

2) 2 8 ,49≈28;

3) 0 ,672≈1;

4) 54 7 ,96≈548;

5) 3 ,71≈4.

Округлить до десятых:

6) 0, 246; 7) 41,253; 8) 3,81; 9) 123,4567; 10) 18,962.

Решение. Подчеркиваем цифру, стоящую в разряде десятых, а затем поступаем согласно правилу: все стоящие после подчеркнутой цифры отбросим. Если за подчеркнутой цифрой была цифра 0 или 1 или 2 или 3 или 4, то подчеркнутую цифру не изменяем. Если за подчеркнутой цифрой шла цифра 5 или 6 или 7 или 8 или 9, то подчеркнутую цифру увеличим на 1.

6) 0, 2 46≈0,2;

7) 41, 2 53≈41,3;

8) 3, 8 1≈3,8;

9) 123, 4 567≈123,5;

10) 18, 9 62≈19,0. За девяткой стоит шестерка, поэтому, девятку увеличиваем на 1. (9+1=10) нуль пишем, 1 переходит в следующий разряд и будет 19. Просто 19 мы в ответе записать не можем, так как должно быть понятно, что мы округляли до десятых - цифра в разряде десятых должна быть. Поэтому, ответ: 19,0.

Округлить до сотых:

11) 2, 045; 12) 32,093; 13) 0, 7689; 14) 543, 008; 15) 67, 382.

Решение. Подчеркиваем цифру в разряде сотых и, в зависимости от того, какая цифра стоит после подчеркнутой, оставляем подчеркнутую цифру без изменения (если за ней 0, 1, 2, 3 или 4) или увеличиваем подчеркнутую цифру на 1 (если за ней стоит 5, 6, 7, 8 или 9).

11) 2, 0 4 5≈2,05;

12) 32,0 9 3≈32,09;

13) 0, 7 6 89≈0,77;

14) 543, 0 0 8≈543,01;

15) 67, 3 8 2≈67,38.

Важно: в ответе последней должна стоять цифра в том разряде, до которого вы округляли.

www.mathematics-repetition.com

Как округлить число до целого

Применяя правило округления чисел, рассмотрим на конкретных примерах, как округлить число до целого.

Правило округления числа до целого

Чтобы округлить число до целого (или округлить число до единиц), надо отбросить запятую и все числа, стоящие после запятой.

Если первая из отброшенных цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то число не изменится.

Если первая из отброшенных цифр 5, 6, 7, 8 или 9, предыдущую цифру нужно увеличить на единицу.

Округлить число до целого:

Чтобы округлить число до целого, отбрасываем запятую и все стоящие после нее числа. Так как первая отброшенная цифра 2, предыдущую цифру не изменяем. Читают: «восемьдесят шесть целых двадцать четыре сотых приближенно равно восьмидесяти шести целым».

Округляя число до целого, отбрасываем запятую и все следующие за ней цифры. Так как первая из отброшенных цифр равна 8, предыдущую увеличиваем на единицу. Читают: «Двести семьдесят четыре целых восемьсот тридцать девять тысячных приближенно равно двести семидесяти пяти целым».

При округлении числа до целого запятую и все стоящие за ней цифры отбрасываем. Поскольку первая из отброшенных цифр - 5, предыдущую увеличиваем на единицу. Читают: «Нуль целых пятьдесят две сотых приближенно равно одной целой».

Запятую и все стоящие после нее цифры отбрасываем. Первая из отброшенных цифр - 3, поэтому предыдущую цифру не изменяем. Читают: «Нуль целых триста девяносто семь тысячных приближенно равно нуль целых».

Первая из отброшенных цифр - 7, значит, стоящую перед ней цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Тридцать девять целых семьсот четыре тысячных приближенно равно сорока целым». И еще пара примеров на округление числа до целых:

27 Comments

Не правильная теория про если цифра 46.5 это не 47 а 46 это называется еще банковским округлением к ближайшему четному округляется если после запятой 5 и за ним нет никакой цифры

Уважаемый ShS! Возможно(?), в банках округление происходит по иным правилам. Не знаю, я не работаю в банке. На этом сайте речь идёт о правилах, действующих в математике.

как округлить число 6,9?

Чтобы округлить число до целого, надо отбросить все числа, стоящие после запятой. Отбрасываем 9, поэтому предыдущее число следует увеличить на единицу. Значит, 6,9 приближенно равно семи целым.

На самом деле действительно не увеличивается цифра если после запятой 5 в любом финансовом учреждении

Гм. В таком случае финансовые учреждения в вопросах округления руководствуются не законами математики, а своими собственными соображениями.

Скажите, как округлить 46,466667. Запуталась

Если требуется округлить число до целого, то надо отбросить все цифры, стоящие после запятой. Первая из отброшенных цифр равна 4, поэтому предыдущую цифру не изменяем:

Уважаемая Светлана Ивановна. Плохо же Вы знакомы с правилами математики.

Правило. Если отбрасывается цифра 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число, т. е. последняя сохраняемая цифра оставляется неизменной, если она четная, и усиливается, если она нечетная.

И Соответственно: Округляя число 0,0465 до третьего десятичного знака, пишем 0,046. Усиления не делаем, так как последняя сохраняемая цифра 6 - четная. Число 0,046 столь же близко к данному, как 0,047.

Уважаемый гость! Да будет Вам известно, в математике для округление числа существуют различные способы округления. В школе изучают один из них, состоящий в отбрасывании младших разрядов числа. Я рада за Вас, что Вы знаете другой способ, но неплохо бы не забывать и школьные знания.

Спасибо вам большое! Нужно было округлить 349,92. Получается 350. Спасибо за правило?

как правильно округлить 5499,8?

Если речь об округлении до целого, то отбросить все цифры, стоящие после запятой. Отброшенная цифра - 8, следовательно, предыдущую увеличиваем на единицу. Значит, 5499,8 приближенно равно 5500 целым.

Доброго дня!
А вот такой вопрос возник сейас:
Есть три числа: 60.56% 11.73% и 27.71% Каким образом окрулить до целых знаечний? Чтобы в сумме то 100 осталось. Если просто округлять, то 61+12+28=101 Плучается неувязочка. (Если, как тыт писали, по «банковскому» методу - в данном случае получится, но в случае, например 60.5% и 39.5% получится опять что-то пало - 1% потеряем). Как быть?

О! помог метод от «гость 02.07.2015 12:11″
Благодарю»

Не знаю меня в школе учили так:
1.5 => 1
1.6 => 2
1.51 => 2
1.51 => 1.6

Возможно, Вас так учили.

0, 855 до сотых помогите пожалуйста

0, 855≈0,86 (отброшена 5, предыдущую цифру увеличиваем на 1).

Округлить 2,465 до целого числа

2,465≈2 (первая отброшенная цифра - 4. Поэтому предыдущую оставляем без изменения).

Как округлить 2,4456 до целого?

2,4456 ≈ 2 (так как первая отброшенная цифра 4, предыдущую цифру оставляем без изменения).

Исходя из правил кругления: 1,45=1,5=2, следовательно 1,45=2. 1,(4)5 = 2. Так ли это?

Нет. Если требуется округлить 1,45 до целого, отбрасываем первую цифру после запятой. Поскольку это 4, предыдущую цифру не изменяем. Таким образом, 1,45≈1.

Под округлением натурального числа понимают замену его таким ближайшим по значению числом, у которого одна или несколько последних цифр в его записи заменены нулями.

Правило округления:

Чтобы округлить натуральное число, нужно в записи числа выбрать разряд, до которого производится округление.

Цифра, записанная в выбранном разряде:

не меняется, если следующая за ней справа цифра — 0, 1, 2, 3 или 4;

Все цифры, стоящие справа от данного разряда, заменяются нулями.

Пример: 14 3 ≈ 140 (округление до десятков);
56 71 ≈ 5700 (округление до сотен).

Если в разряде, до которого производится округление, стоит цифра 9 и необходимо ее увеличить на единицу, то в этом разряде записывается цифра 0, а цифра в соседнем старшем разряде (слева) увеличивается на 1.

Пример: 79 6 ≈ 800 (округление до десятков);
9 70 ≈ 1000 (округление до сотен).

Округление десятичных дробей

Чтобы округлить десятичную дробь, нужно в записи числа выбрать разряд, до которого производится округление. Цифра, записанная в данном разряде:

увеличивается на единицу, если следующая за ней справа цифра — 5,6,7,8 или 9.

Все цифры, стоящие справа от данного разряда, заменяются нулями. Если эти нули находятся в дробной части числа, то их не пишут.

Пример: 143,6 4 ≈ 143,6 (округление до десятых);
5,68 7 ≈ 5,69 (округление до сотых);
27 ,945 ≈ 28 (округление до целых).

Если в разряде, до которого производится округление, стоит цифра 9 и необходимо ее увеличить на единицу, то в этом разряде записывается цифра 0, а цифра в предыдущем разряде (слева) увеличивается на 1.

Пример: 8 9, 6 ≈ 90 (округление до десятков);
0,09 7 ≈ 0,10 (округление до сотых).

files.school-collection.edu.ru

Округление чисел

1) Правила округления натуральных чисел. Округление натуральных чисел производится до единиц какого-то разряда. Округлить натуральное число до единиц какого-либо разряда-это значит установить сколько единиц этого разряда содержится в данном числе. Например, мы хотим округлить число 237 456 до тысяч. Это значит узнать, сколько тысяч имеется в этом числе. Очевидно, что в нем имеется 237 тысяч. Как мы это узнали? Для этого мы все цифры данного числа до разряда тысяч, т.е. сотни, десятки и единицы, заменили нулями и получили число 237000,чтро короче можно записать так:237 тыс. Но можно, зная, что 1000=10 3 , записать это округленное число и так: 237*10 3 .

Итак, 237 456 ? 237 тыс. или 237 456 ? 237*10 3 .

Обратите внимание: здесь мы поставили не обычный знак равенства, а знак приближённого равенства (?).

Почему именно такой знак? Да потому, что числа 237 456 и 237 тыс. не равны, второе число несколько меньше первого, а именно меньше на 456, следовательно, заменяя число 237 456 числом 237 тыс., мы тем самым допускаем ошибку, равную 456, ак это значит, что числа 237 456 и 237 тыс. лишь приближённо равны. Поэтому и ставится знак приближённого равенства. Заметим, что ошибка при округлении числа 237 456 до тысяч составила 456 единиц, что меньше половины одной тысячи. Поэтому, если нам нужно округлить до тысяч число 237 873, то более рассудно взять в качестве округлёного значения числа 237 873 возьмём 237 тыс., то допустим ошибку, равную 873, что больше половины тысячи, т.е. 500. Если же в качестве округлённого значения 238 тыс. , то ошибка составит всего 127, что значительно меньше половины тысяч из этих примеров можно вывести следующее общее правило округления натуральных чисел до единиц какого — либо разряда: заменить все цифры, стоящие правее данного разряда, нулями. Если первая слева цифра из заменяемых нулями меньше 5, то округление закончено и полученное округлённое число можно записать в сокращённом виде. Если же она равна или больше 5, то цифру разряда, до какого производилось округление, заменяем на единицу большей.

anastasi-shherbakova.narod.ru

Округление натуральных чисел.

Округление мы часто используем в повседневной жизни. Если расстояние от дома до школы будет 503 метра. Мы можем сказать, округлив значение, что расстояние от дома до школы 500 метров. То есть мы приблизили число 503 к более легко воспринимающемуся числу 500. Например, булка хлеба весит 498 грамм, то можно сказать округлив результат, что булка хлеба весит 500 грамм.

Округление – это приближение числа к более “легкому” числу для восприятия человека.

В итоге округления получается приближенное число. Округление обозначается символом ≈, такой символ читается “приближённо равно”.

Можно записать 503≈500 или 498≈500.

Читается такая запись, как “пятьсот три приближенно равно пятистам” или “четыреста девяносто восемь приближенно равно пятистам”.

Разберем еще пример:

4 4 71≈4000 4 5 71≈5000

4 3 71≈4000 4 6 71≈5000

4 2 71≈4000 4 7 71≈5000

4 1 71≈4000 4 8 71≈5000

4 0 71≈4000 4 9 71≈5000

В данном примере было произведено округление чисел до разряда тысяч. Если посмотреть закономерность округления, то увидим, что в одном случае числа округляются в меньшую сторону, а в другом – в большую. После округления все остальные числа после разряда тысяч заменили на нули.

Правила округления чисел:

1) Если округляемая цифра равна 0, 1, 2, 3, 4, то цифра разряда до которого идет округление не меняется, а остальные числа заменяются нулями.

2) Если округляемая цифра равна 5, 6, 7, 8, 9, то цифра разряда до которого идет округление становиться на 1 больше, а остальные числа заменяются нулями.

1) Выполните округление до разряда десятков числа 364.

Разряд десятков в данном примере это число 6. После шестерки стоит число 4. По правилу округления цифра 4 разряд десятков не меняет. Записываем вместо 4 нуль. Получаем:

2) Выполните округление до разряда сотен числа 4 781.

Разряд сотен в данном примере это число 7. После семерки стоит цифра 8, которая влияет на то измениться ли разряд сотен или нет. По правилу округления цифра 8 увеличивает разряд сотен на 1, а остальные цифры заменяем нулями. Получаем:

3) Выполните округление до разряда тысяч числа 215 936.

Разряд тысяч в данном примере это число 5. После пятерки стоит цифра 9, которая влияет на то измениться ли разряд тысяч или нет. По правилу округления цифра 9 увеличивает разряд тысяч на 1, а остальные цифры заменяются нулями. Получаем:

21 5 9 36≈21 6 000

4) Выполните округление до разряда десятков тысяч числа 1 302 894.

Разряд тысяч в данном примере это число 0. После нуля стоит цифра 2, которая влияет на то измениться ли разряд десятков тысяч или нет. По правилу округления цифра 2 разряд десятков тысяч не меняет, заменяем на нуль этот разряд и все разряды младшие разряды. Получаем:

13 0 2 894≈13 0 0000

Если точное значение числа неважно, то значение числа округляют и можно выполнять вычислительные операции с приближенными значениями . Результат вычисления называют прикидкой результата действий .

Например: 598⋅23≈600⋅20≈12000 сравним с 598⋅23=13754

Прикидкой результата действий пользуются для того, чтобы быстро посчитать ответ.

Примеры на задания по теме округление:

Пример №1:
Определите до какого разряда сделано округление:
а) 3457987≈3500000 б)4573426≈4573000 в)16784≈17000
Вспомним какие бывают разряды на числе 3457987.

7 – разряд единиц,

8 – разряд десятков,

9 – разряд сотен,

7 – разряд тысяч,

5 – разряд десятков тысяч,

4 – разряд сотен тысяч,
3 – разряд миллионов.
Ответ: а) 3 4 57 987≈3 5 00 000 разряд сотен тысяч б) 4 57 3 426≈4 57 3 000 разряд тысяч в)1 6 7 841≈1 7 0 000 разряд десятков тысяч.

Пример №2:
Округлите число до разрядов 5 999 994: а) десятков б) сотен в) миллионов.
Ответ: а) 5 999 99 4 ≈5 999 990 б) 5 999 9 9 4≈6 000 000 (т.к. разряды сотен, тысяч, десятков тысяч, сотен тысяч цифра 9, каждый разряд увеличился на 1) 5 9 99 994≈6 000 000.

Правила округление натуральных чисел

Правила округления натуральных чисел.
Округление числа до некоторого разряда.

Время от времени в стране проводится перепись населения. Каждый день люди рождаются, умирают, меняют место жительства, поэтому число жителей постоянно меняется. Допустим, что в одном городе 34 489 жителей. Соответственно, при передвижениях людей в этом числе будут изменяться цифры разрядов единиц, десятков и даже сотен. Такие цифры заменяют нулями, и получаем более простое число. Можно сказать, что в городе живет приблизительно 34 000 жителей.

Число 34 489 округлили до тысяч 34 000.
Если мы хотим округлить какое-то число, то применяем правило:
45|245 — черта показывает, до какого разряда мы хотим округлить.

Если первая цифра, следующая за тем разрядом, до которого округляется число (справа от черты) 5, 6, 7, 8, 9, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1 , а остальные цифры, стоящие после черты, заменяют нулями. В других случаях последнюю оставшуюся цифру не изменяют.

Данное число и число, полученное при его округлении приближенно равны .Это записывается при помощи знака » » «.
45|245 » 45 000, так как цифра, следующая за разрядом тысяч 2.
124 7 | 89 » 124 800, так как цифра, следующая за разрядом сотен 8.

Округли числа 12 344; 12 343; 12 342; 12 340; 12 341 до десятков.
.

Округление натуральных чисел используется при вычислении цены. Вычитания производятся устно, делается прикидка результата. Например:
358 · 56 = 20 048

Для упрощенного умножения округлим каждое число:
358 » 400 и 56 » 60 400 x 60 = 24 000

Видно, что данный ответ приблизительно равен первому ответу.

1. Приведи примеры, где можно использовать округление чисел..
.
.

2. Объясни, до какого разряда округлены числа. Первый столбик округли до десятков. Второй столбик округли до тысяч

6789 » 6800 . 12 897 » 10 000 .
12 544 » 12 500 . 2 344 672 » 2 340 000 .
245 673 » 245 700 . 78 358 » 78 360 .
26 577 » 30 000 . 34 057 123 » 34 100 000 .

Округление чисел

Числа округляют, когда полная точность не нужна или невозможна.

Если число округляется до десятков, то нулями заменяем цифру в разряде единицы.

Если число округляется до сотен, то цифра ноль должна стоять и в разряде единиц, и в разряде десятков.

Число, полученное при округлении, называют приближённым значением данного числа.

Записывают результат округления после специального знака « ≈ ». Этот знак читается как «приближённо равно».

При округлении натурального числа до какого-либо разряда надо воспользоваться правилами округления .

Подчеркнуть цифру разряда, до которого надо округлить число.
Отделить все цифры, стоящие справа этого разряда вертикальной чертой.
Если справа от подчёркнутой цифры стоит цифра 0, 1, 2, 3 или 4 , то все цифры, которые отделены справа, заменяются нулями. Цифру разряда, до которой округляли, оставляем без изменений.
Если справа от подчёркнутой цифры стоит цифра 5, 6, 7, 8 или 9 , то все цифры, которые отделены справа, заменяются нулями, а к цифре разряда, до которой округляли, прибавляется 1 .

Поясним на примере. Округлим 57 861 до тысяч. Выполним первые два пункта из правил округления.

Теперь округлим 756 485 до сотен.

Округлим 364 до десятков.

3 6 |4 ≈ 360 - в разряде единиц стоит 4 , поэтому мы оставляем 6 в разряде десятков без изменений.

Число 360 - приближённое значение с недостатком , а число 370 - приближённое значение с избытком .

В нашем случае, округлив 364 до десятков, мы получили, 360 - приближённое значение с недостатком.

8 659 000 = 8 659 тыс.
3 000 000 = 3 млн.

Округление также применяется для прикидочной проверки ответа в вычислениях.

До точного вычисления сделаем прикидку ответа, округлив множители до наивысшего разряда.

794 · 52 ≈ 800 · 50 ≈ 40 000

Делаем вывод, что ответ будет близок к 40 000 .

794 · 52 = 41 228

Аналогично можно выполнять прикидку округлением и при делении чисел.

Сегодня мы рассмотрим довольно скучную тему, без понимания которой двигаться дальше не представляется возможным. Эта тема называется «округление чисел» или по-другому «приближённые значения чисел».

Содержание урока

Приближённые значения

Приближённые (или приблизительные) значения применяются тогда, когда точное значение чего-либо найти невозможно, или же это значение не важно для исследуемого предмета.

Например, на словах можно сказать, что в городе проживает полмиллиона человек, но это высказывание не будет истинным, поскольку количество человек в городе меняется — люди приезжают и уезжают, рождаются и умирают. Поэтому правильнее будет сказать, что в городе проживает приблизительно полмиллиона человек.

Ещё пример. В девять утра начинаются занятия. Мы вышли из дома в 8:30. Через некоторое время по дороге мы встретили своего товарища, который спросил у нас сколько сейчас времени. Когда мы выходили из дома было 8:30, на дорогу мы потратили какое-то неизвестное время. Мы не знаем сколько сейчас времени, поэтому отвечаем товарищу: «сейчас приблизительно около девяти часов».

В математике приближенные значения указываются с помощью специального знака. Выглядит он следующим образом:

Читается как «приблизительно равно».

Чтобы указать приблизительное значение чего-либо, прибегают к такой операции, как округление чисел.

Округление чисел

Для нахождения приближенного значения применяется такая операция, как округление чисел .

Слово «округление» говорит само за себя. Округлить число значит сделать его круглым. Круглым называется число, которое оканчивается нулем. Например, следующие числа являются круглыми,

10, 20, 30, 100, 300, 700, 1000

Любое число можно сделать круглым. Процедуру, при которой число делают круглым, называют округлением числа .

Мы уже занимались «округлением» чисел, когда делили большие числа. Напомним, что для этого мы оставляли без изменения цифру, образующую старший разряд, а остальные цифры заменяли нулями. Но это были лишь наброски, которые мы делали для облегчения деления. Своего рода лайфхак . По факту, это даже не являлось округлением чисел. Именно поэтому в начале данного абзаца мы взяли слово округление в кавычки.

На самом деле, суть округления заключается в том, чтобы найти ближайшее значение от исходного. При этом, число может быть округлено до определённого разряда — до разряда десятков, разряда сотен, разряда тысяч.

Рассмотрим простой пример на округление. Дано число 17. Требуется округлить его до разряда десятков.

Не забегая вперёд попробуем понять, что означает «округлить до разряда десятков». Когда говорят округлить число 17, от нас требуют найти ближайшее круглое число для числа 17. При этом, в ходе этого поиска возможно изменения коснутся и цифры, которая находится в разряде десятков в числе 17 (т.е единицы).

Представим, что все числа от 10 до 20 лежат на прямой линии:

На рисунке видно, что для числа 17 ближайшее круглое число это 20. Значит ответ к задаче таким и будет: 17 приблизительно равно 20

17 ≈ 20

Мы нашли приближённое значение для 17, то есть округлили его до разряда десятков. Видно, что после округления в разряде десятков появилась новая цифра 2.

Попробуем найти приближённое число для числа 12. Для этого снова представим, что все числа от 10 до 20 лежат на прямой линии:

На рисунке видно, что ближайшее круглое число для 12 это число 10. Значит ответ к задаче таким и будет: 12 приблизительно равно 10

12 ≈ 10

Мы нашли приближённое значение для 12, то есть округлили его до разряда десятков. В этот раз цифра 1, которая стояла в разряде десятков в числе 12, не пострадала от округления. Почему так случилось мы рассмотрим позже.

Попробуем найти ближайшее число для числа 15. Снова представим, что все числа от 10 до 20 лежат на прямой линии:

На рисунке видно, что число 15 одинаково удалено от круглых чисел 10 и 20. Возникает вопрос: которое из этих круглых чисел будет приближённым значением для числа 15? Для таких случаев условились принимать большее число за приближённое. 20 больше чем 10, поэтому приближённое значение для 15 будет число 20

15 ≈ 20

Округлять можно и большие числа. Естественно, для них рисовать прямую линию и изображать числа не представляется возможным. Для них существует свой способ. Например, округлим число 1456 до разряда десятков.

Мы должны округлить 1456 до разряда десятков. Разряд десятков начинается на пятёрке:

Теперь о существовании первых цифр 1 и 4 временно забываем. Остается число 56

Теперь смотрим, какое круглое число находится ближе к числу 56. Очевидно, что ближайшее круглое число для 56 это число 60. Значит заменяем число 56 на число 60

Значит при округлении числа 1456 до разряда десятков получим 1460

1456 ≈ 1460

Видно, что после округления числа 1456 до разряда десятков, изменения коснулись и самого разряда десятков. В новом полученном числе в разряде десятков теперь располагается цифра 6, а не 5.

Округлять числа можно не только до разряда десятков. Округлять можно также до разряда сотен, тысяч, десятков тысяч.

После того, как становится понятно, что округление это ни что иное, как поиск ближайшего числа, можно применять готовые правила, которые значительно облегчают округление чисел.

Первое правило округления

Из предыдущих примеров стало ясно, что округляя число до определенного разряда, младшие разряды заменяются нулями. Цифры, которые заменяются нулями, называют отбрасываемыми цифрами .

Первое правило округления выглядит следующим образом:

Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Например, округлим число 123 до разряда десятков.

В первую очередь находим сохраняемую цифру. Для этого надо прочитать само задание. В разряде, о котором говорится в задании и находится сохраняемая цифра. В задании сказано: округлить число 123 до разряда десятков.

Видим, что в разряде десятков находится двойка. Значит сохраняемой цифрой является цифра 2

Теперь находим первую из отбрасываемых цифр. Первой из отбрасываемых цифр является та цифра, которая следует после сохраняемой цифрой. Видим, что первая цифра после двойки это цифра 3. Значит цифра 3 является первой отбрасываемой цифрой .

Теперь применяем правило округления. Оно говорит, что если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Так и делаем. Оставляем без изменения сохраняемую цифру, а все младшие разряды заменяем нулями. Другими словами, всё что следует после цифры 2 заменяем нулями (точнее нулём):

123 ≈ 120

Значит при округлении числа 123 до разряда десятков, получаем приближённое ему число 120.

Теперь попробуем округлить то же самое число 123, но уже до разряда сотен .

Нам требуется округлить число 123 до разряда сотен. Снова ищем сохраняемую цифру. В этот раз сохраняемой цифрой является 1, поскольку мы округляем число до разряда сотен.

Теперь находим первую из отбрасываемых цифр. Первой из отбрасываемых цифр является та цифра, которая следует после сохраняемой цифрой. Видим, что первая цифра после единицы это цифра 2. Значит цифра 2 является первой отбрасываемой цифрой:

Теперь применим правило. Оно говорит, что если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Так и делаем. Оставляем без изменения сохраняемую цифру, а все младшие разряды заменяем нулями. Другими словами, всё что следует после цифры 1 заменяем нулями:

123 ≈ 100

Значит при округлении числа 123 до разряда сотен, получаем приближённое ему число 100.

Пример 3. Округлить число 1234 до разряда десятков.

Здесь сохраняемая цифра это 3. А первая отбрасываемая цифра это 4.

Значит оставляем сохраняемую цифру 3 без изменений, а всё что располагается после неё заменяем нулём:

1234 ≈ 1230

Пример 4. Округлить число 1234 до разряда сотен.

Здесь сохраняемая цифра это 2. А первая отбрасываемая цифра это 3. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит оставляем сохраняемую цифру 2 без изменений, а всё что располагается после неё заменяем нулями:

1234 ≈ 1200

Пример 3. Округлить число 1234 до разряда тысяч.

Здесь сохраняемая цифра это 1. А первая отбрасываемая цифра это 2. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит оставляем сохраняемую цифру 1 без изменений, а всё что располагается после неё заменяем нулями:

1234 ≈ 1000

Второе правило округления

Второе правило округления выглядит следующим образом:

Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Например, округлим число 675 до разряда десятков.

Видим, что в разряде десятков находится семёрка. Значит сохраняемой цифрой является цифра 7

Теперь находим первую из отбрасываемых цифр. Первой из отбрасываемых цифр является та цифра, которая следует после сохраняемой цифрой. Видим, что первая цифра после семёрки это цифра 5. Значит цифра 5 является первой отбрасываемой цифрой .

У нас первая из отбрасываемых цифр это 5. Значит мы должны увеличить на единицу сохраняемую цифру 7, а всё что следует после неё заменить нулём:

675 ≈ 680

Значит при округлении числа 675 до разряда десятков, получаем приближённое ему число 680.

Теперь попробуем округлить то же самое число 675, но уже до разряда сотен .

Нам требуется округлить число 675 до разряда сотен. Снова ищем сохраняемую цифру. В этот раз сохраняемой цифрой является 6, поскольку мы округляем число до разряда сотен:

Теперь находим первую из отбрасываемых цифр. Первой из отбрасываемых цифр является та цифра, которая следует после сохраняемой цифрой. Видим, что первая цифра после шестёрки это цифра 7. Значит цифра 7 является первой отбрасываемой цифрой:

Теперь применяем второе правило округления. Оно говорит, что если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

У нас первая из отбрасываемых цифр это 7. Значит мы должны увеличить на единицу сохраняемую цифру 6, а всё что следует после неё заменить нулями:

675 ≈ 700

Значит при округлении числа 675 до разряда сотен, получаем приближённое ему число 700.

Пример 3. Округлить число 9876 до разряда десятков.

Здесь сохраняемая цифра это 7. А первая отбрасываемая цифра это 6.

Значит увеличиваем на единицу сохраняемую цифру 7, а всё что располагается после неё заменяем нулём:

9876 ≈ 9880

Пример 4. Округлить число 9876 до разряда сотен.

Здесь сохраняемая цифра это 8. А первая отбрасываемая цифра это 7. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит увеличиваем на единицу сохраняемую цифру 8, а всё что располагается после неё заменяем нулями:

9876 ≈ 9900

Пример 5. Округлить число 9876 до разряда тысяч.

Здесь сохраняемая цифра это 9. А первая отбрасываемая цифра это 8. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит увеличиваем на единицу сохраняемую цифру 9, а всё что располагается после неё заменяем нулями:

9876 ≈ 10000

Пример 6. Округлить число 2971 до сотен.

При округлении этого числа до сотен следует быть внимательным, поскольку сохраняемая цифра здесь 9, а первая отбрасываемая цифра это 7. Значит цифра 9 должна увеличиться на единицу. Но дело в том, что после увеличения девятки на единицу получится 10, а это цифра не вместится в разряд сотен нового числа.

В этом случае, в разряде сотен нового числа надо записать 0, а единицу перенести на следующий разряд и сложить с цифрой, которая там находится. Далее заменить все цифры после сохраняемой нулями:

2971 ≈ 3000

Округление десятичных дробей

При округлении десятичных дробей следует быть особенно внимательным, поскольку десятичная дробь состоит из целой и дробной части. И каждая из этих двух частей имеет свои разряды:

Разряды целой части:

разряд единиц
разряд десятков
разряд сотен
разряд тысяч

Разряды дробной части:

разряд десятых
разряд сотых
разряд тысячных

Рассмотрим десятичную дробь 123,456 — сто двадцать три целых четыреста пятьдесят шесть тысячных. Здесь целая часть это 123, а дробная часть 456. При этом у каждой из этих частей есть свои разряды. Очень важно не путать их:

Для целой части применяются те же правила округления, что и для обычных чисел. Отличие в том, что после округления целой части и замены нулями всех цифр после сохраняемой цифры, дробная часть полностью отбрасывается.

Например, округлим дробь 123,456 до разряда десятков. Именно до разряда десятков , а не разряда десятых . Очень важно не перепутать эти разряды. Разряд десятков располагается в целой части, а разряд десятых в дробной.

Мы должны округлить 123,456 до разряда десятков. Сохраняемая цифра здесь это 2, а первая из отбрасываемых цифр это 3

Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит сохраняемая цифра останется без изменений, а всё остальное заменится нулём. А что делать с дробной частью? Её просто отбрасывают (убирают):

123,456 ≈ 120

Теперь попробуем округлить ту же самую дробь 123,456 до разряда единиц . Сохраняемая цифра здесь будет 3, а первая из отбрасываемых цифр это 4, которая находится в дробной части:

Значит сохраняемая цифра останется без изменений, а всё остальное заменится нулём. Оставшаяся дробная часть будет отброшена:

123,456 ≈ 123,0

Ноль, который остался после запятой тоже можно отбросить. Значит окончательный ответ будет выглядеть следующим образом:

123,456 ≈ 123,0 ≈ 123

Теперь займёмся округлением дробных частей. Для округления дробных частей справедливы те же правила, что и для округления целых частей. Попробуем округлить дробь 123,456 до разряда десятых. В разряде десятых располагается цифра 4, значит она является сохраняемой цифрой, а первая отбрасываемая цифра это 5, которая находится в разряде сотых:

Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит сохраняемая цифра 4 увеличится на единицу, а остальная часть заменится нулями

123,456 ≈ 123,500

Попробуем округлить ту же самую дробь 123,456 до разряда сотых. Сохраняемая цифра здесь это 5, а первая из отбрасываемых цифр это 6, которая находится в разряде тысячных:

Значит сохраняемая цифра 5 увеличится на единицу, а остальная часть заменится нулями

123,456 ≈ 123,460

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках