Для решения задач подобного рода в аналитическом планировании широко применяется метод анализа иерархий (далее МАИ), разработанный Т.Саати. Сегодня его используют уже повсеместно от риэлтеров, при оценке недвижимости, до кадровиков, при замещении вакантных должностей. Воспользуемся этим методом и мы для выбора хостинг-провайдера.

Первым этапом применения МАИ является структурирование проблемы выбора в виде иерархии или сети. В наиболее элементарном виде иерархия строится с вершины (цели), через промежуточные уровни-критерии (технико-экономические параметры) к самому нижнему уровню, который в общем случае является набором альтернатив (хостинг-провайдеров в нашем случае).

После иерархического воспроизведения проблемы устанавливаются приоритеты критериев и оценивается каждая из альтернатив по критериям. В МАИ элементы задачи сравниваются попарно по отношению к их воздействию на общую для них характеристику. Система парных сведений приводит к результату, который может быть представлен в виде обратно симметричной матрицы. Элементом матрицы a(i,j) является интенсивность проявления элемента иерархии i относительно элемента иерархии j, оцениваемая по шкале интенсивности от 1 до 9, предложенной автором метода, где оценки имеют следующих смысл:

Если при сравнении одного фактора i с другим j получено a(i,j) = b , то при сравнении второго фактора с первым получаем a(j,i) = 1/b.

Опыт показал, что при проведении попарных сравнений в основном ставятся следующие вопросы. При сравнении элементов А и Б:

Какой из них важнее или имеет большее воздействие?
Какой из них более вероятен?
Какой из них предпочтительнее?

Относительная сила, величина или вероятность каждого отдельного объекта в иерархии определяется оценкой соответствующего ему элемента собственного вектора матрицы приоритетов, нормализованного к единице. Процедура определения собственных векторов матриц поддается приближению с помощью вычисления геометрической средней.

Пусть:
A 1 ...A n - множество из n элементов;
W 1 ...W n - соотносятся следующим образом:

	A 1	...	A n
A 1	1	...	W 1 /W n
...	...	1	A n
A n	W n /W 1	...	1

Оценка компонент вектора приоритетов производится по схеме:

	A 1	...	A n
A 1	1	...	W 1 /W n	X 1 =(1(W 1 /W 2)...*(W 1 /W n)) 1/n	BEC(A 1)=X 1 /СУММА(X i)
...	...	1	A n	...	...
A n	W n /W 1	...	1	X n =((W n /W 1)...(W n /W n-1)*1) 1/n	BEC(A n)=X n /СУММА(X i)
				СУММА(X i)

Приоритеты синтезируются начиная со второго уровня вниз. Локальные приоритеты перемножаются на приоритет соответствующего критерия на вышестоящем уровне и суммируются по каждому элементу в соответствии с критериями, на которые воздействует элемент.

Весьма полезным побочным продуктом теории является так называемый индекс согласованности (ИС), который дает информацию о степени нарушения согласованности. Вместе с матрицей парных сравнений мы имеем меру оценки степени отклонения от согласованности. Если такие отклонения превышают установленные пределы, то тому, кто проводит суждения, следует перепроверить их в матрице.

ИС = (l max - n)/(n - 1)

Для наших матриц всегда l max і n.

Теперь сравним эту величину с той, которая получилась бы при случайном выборе количественных суждений из нашей шкалы, и образовании обратно симметричной матрицы. Ниже даны средние согласованности для случайных матриц разного порядка.

Если разделить ИС на число, соответствующее случайной согласованности матрицы того же порядка, получим отношение согласованности (ОС). Величина ОС должна быть порядка 10% или менее, чтобы быть приемлемой. В некоторых случаях допускается ОС до 20%, но не более, иначе надо проверить свои суждения.

Метод анализа иерархий Пример задачи многокритериального выбора с простейшей иерархией.

Метод Анализа Иерархий (МАИ) - математический инструмент системного подхода к сложным проблемам принятия решений. МАИ не предписывает лицу, принимающему решение (ЛПР), какого-либо «правильного» решения, а позволяет ему в интерактивном режиме найти такой вариант (альтернативу), который наилучшим образом согласуется с его пониманием сути проблемы и требованиями к ее решению. Этот метод разработан американским математиком Томасом Саати, который написал о нем книги, разработал программные продукты и в течение 20 лет проводит симпозиумы ISAHP (англ. International Symposium on Analytic Hierarchy Process ). МАИ широко используется на практике и активно развивается учеными всего мира. В его основе наряду с математикой заложены и психологические аспекты. МАИ позволяет понятным и рациональным образом структурировать сложную проблему принятия решений в виде иерархии, сравнить и выполнить количественную оценку альтернативных вариантов решения. Метод Анализа Иерархий используется во всем мире для принятия решений в разнообразных ситуациях: от управления на межгосударственном уровне до решения отраслевых и частных проблем в бизнесе , промышленности , здравоохранении и образовании . Для компьютерной поддержки МАИ существуют программные продукты, разработанные различными компаниями. Анализ проблемы принятия решений в МАИ начинается с построения иерархической структуры, которая включает цель, критерии, альтернативы и другие рассматриваемые факторы, влияющие на выбор. Эта структура отражает понимание проблемы лицом, принимающим решение. Каждый элемент иерархии может представлять различные аспекты решаемой задачи, причем во внимание могут быть приняты как материальные, так и нематериальные факторы, измеряемые количественные параметры и качественные характеристики, объективные данные и субъективные экспертные оценки . Иными словами, анализ ситуации выбора решения в МАИ напоминает процедуры и методы аргументации, которые используются на интуитивном уровне. Следующим этапом анализа является определение приоритетов, представляющих относительную важность или предпочтительность элементов построенной иерархической структуры, с помощью процедуры парных сравнений. Безразмерные приоритеты позволяют обоснованно сравнивать разнородные факторы, что является отличительной особенностью МАИ. На заключительном этапе анализа выполняется синтез (линейная свертка) приоритетов на иерархии, в результате которой вычисляются приоритеты альтернативных решений относительно главной цели. Лучшей считается альтернатива с максимальным значением приоритета.

Пример задачи многокритериального выбора с простейшей иерархией

В данной задаче необходимо выбрать из трех кандидатов одного на должность руководителя. Кандидаты оцениваются по критериям: возраст, опыт, образование и личные качества. На рисунке показана иерархия для этой задачи. Простейшая иерархия содержит три уровня: цель, критерии и альтернативы. Числа на рисунке показывают приоритеты элементов иерархии с точки зрения цели, которые вычисляются в МАИ на основе парных сравнений элементов каждого уровня относительно связанных с ними элементами вышерасположенного уровня. Приоритеты альтернатив относительно цели (глобальные приоритеты) вычисляются на заключительном этапе метода путем линейной свертки локальных приоритетов всех элементов. В данном примере лучшим кандидатом является Дик, так как имеет максимальное значение глобального приоритета.

Сфера образования и научных исследований

Хотя для практического применения МАИ отсутствует необходимость специальной подготовки, основы метода преподают во многих учебных заведениях . Кроме того, этот метод широко применяется в сфере управления качеством и читается в рамках многих специализированных программ, таких как Six Sigma, Lean Six Sigma, и QFD . Около ста китайских университетов предлагают курсы по основам МАИ, и многие соискатели научных степеней выбирают МАИ в качестве объекта научных и диссертационных исследований. Опубликовано более 900 научных статей по данной тематике. Существует китайский научный журнал, специализирующийся в области МАИ . Раз в два года проводится Международный симпозиум, посвященный МАИ (International Symposium on Analytic Hierarchy Process, ISAHP), на котором встречаются как ученые, так и практики, работающие с МАИ. В 2007 году симпозиум проходил в Вальпараисо, Чили, где было представлено более 90 докладов ученых из 19 стран, включая США, Германию, Японию, Чили, Малайзию, и Непал .

Устройство для удаленного ввода и обработки оценок

Методика применения МАИ

Метод анализа иерархий содержит процедуру синтеза приоритетов, вычисляемых на основе субъективных суждений экспертов. Число суждений может измеряться дюжинами или даже сотнями. Математические вычисления для задач небольшой размерности можно выполнить вручную или с помощью калькулятора, однако гораздо удобнее использовать программное обеспечение (ПО) для ввода и обработки суждений. Самый простой способ компьютерной поддержки - электронные таблицы, самое развитое ПО предусматривает применение специальных устройств для ввода суждений участниками процесса коллективного выбора. Порядок применения Метода Анализа Иерархий:

Рассмотрим эти шаги подробнее.

Моделирование проблемы в виде иерархии

Первый шаг МАИ - построение иерархической структуры, объединяющей цель выбора, критерии, альтернативы и другие факторы, влияющие на выбор решения. Построение такой структуры помогает проанализировать все аспекты проблемы и глубже вникнуть в суть задачи.

Определение иерархической структуры

Иерархическая структура - это графическое представление проблемы в виде перевернутого дерева, где каждый элемент, за исключением самого верхнего, зависит от одного или более выше расположенных элементов. Часто в различных организациях распределение полномочий, руководство и эффективные коммуникации между сотрудниками организованы в иерархической форме.

Иерархические структуры используются для лучшего понимания сложной реальности: мы раскладываем исследуемую проблему на составные части; затем разбиваем на составные части получившиеся элементы и т. д. На каждом шаге важно фокусировать внимание на понимании текущего элемента, временно абстрагируясь от всех прочих компонентов. При проведении подобного анализа приходит понимание всей сложности и многогранности исследуемого предмета.

В качестве примера можно привести иерархическую структуру, которая используется при обучении в медицинских вузах . В рамках изучения анатомии отдельно рассматривается костно-мышечная система (которая включает такие элементы, как руки и их составляющие: мышцы и кости), сердечнососудистая система (и ее множественные уровни), нервная система (и ее компоненты и подсистемы) и т. д. Степень детализации доходит до клеточного и молекулярного уровня. В конце изучения приходит понимание системы организма в целом, а также осознание того, какую роль играет в нем занимает каждая часть. С помощью подобного иерархического структурирования студенты приобретают всесторонние знания об анатомии.

Аналогичным образом, когда мы решаем сложную проблему, мы можем использовать иерархию как инструмент для обработки и восприятия больших объемов информации. По мере проектирования этой структуры у нас формируется все более полное понимание проблемы .

Простейшая иерархия МАИ. Чтобы избежать беспорядка в диаграммах МАИ, связи, соединяющие Альтернативы и их покрывающие Критерии, часто опускаются, или их количество искусственно уменьшается. Несмотря на такие упрощения в диаграмме, в самой иерархии каждая Альтернатива связана с каждым из покрывающих ее Критериев.

Объяснение иерархических структур, используемых в МАИ

Иерархические структуры, используемые в МАИ, представляет собой инструмент для качественного моделирования сложных проблем. Вершиной иерархии является главная цель; элементы нижнего уровня представляют множество вариантов достижения цели (альтернатив); элементы промежуточных уровней соответствуют критериям или факторам, которые связывают цель с альтернативами. Существуют специальные термины для описания иерархической структуры МАИ. Каждый уровень состоит из узлов. Элементы, исходящие из узла, принято называть его детьми (дочерними элементами). Элементы, из которых исходит узел, называются родительскими. Группы элементов, имеющие один и тот же родительский элемент, называются группами сравнения. Родительские элементы Альтернатив, как правило, исходящие из различных групп сравнения, называются покрывающими Критериями. Используя эти термины для описания представленной ниже диаграммы, можно сказать, что четыре Критерия - это дети Цели; в свою очередь, Цель - это родительский элемент для любого из Критериев. Каждая Альтернатива - это дочерний элемент каждого из включающих ее Критериев. Всего на диаграмме присутствует две группы сравнения: группа, состоящая из четырех Критериев и группа, включающая три Альтернативы. Вид любой иерархии МАИ будет зависеть не только от объективного характера рассматриваемой проблемы, но и от знаний, суждений, системы ценностей, мнений, желаний и т. п. участников процесса. Опубликованные описания применений МАИ часто включают в себя различные схемы и объяснения представленных иерархий . Последовательное выполнение всех шагов МАИ предусматривает возможность изменения структуры иерархии, с целью включения в неё вновь появившихся, или ранее не считавшихся важными, Критериев и Альтернатив .

Расстановка приоритетов

После построения иерархии участники процесса используют МАИ для определения приоритетов всех узлов структуры. Информация для расстановки приоритетов собирается со всех участников и математически обрабатывается. В данном разделе приведена информация, на простом примере поясняющая процесс вычисления приоритетов.

Определение приоритетов и пояснения

Приоритеты - это числа, которые связаны с узлами иерархии. Они представляют собой относительные веса элементов в каждой группе. Подобно вероятностям, приоритеты - безразмерные величины, которые могут принимать значения от нуля до единицы. Чем больше величина приоритета, тем более значимым является соответствующий ему элемент. Сумма приоритетов элементов, подчиненных одному элементу выше лежащего уровня иерархии, равна единице. Приоритет цели по определению равен 1.0. Рассмотрим простой пример, поясняющий методику вычисления приоритетов.

Простейшая иерархическая структура МАИ с приоритетами, определенными по умолчанию.

На рисунке показана иерархия, в которой приоритеты всех элементов не устанавливались ЛПР. В таком случае по умолчанию приоритеты элементов считаются одинаковыми, то есть все четыре критерия имеют равную важность с точки зрения цели, а приоритеты всех альтернатив равны по всем критериями. Другими словами, альтернативы в этом примере неразличимы. Заметим, что сумма приоритетов элементов любого уровня, равна единице. Если бы альтернатив было две, то их приоритеты были бы равны 0.500, если бы критериев было 5, то приоритет каждого был бы равен 0.200. В этом простом примере приоритеты альтернатив по разным критериям могут не совпадать, что обычно и бывает на практике. Приведем пример, в котором локальные приоритеты альтернатив по разным критериям не совпадают. Глобальные приоритеты альтернатив относительно цели вычисляются путем умножения локального приоритета каждой альтернативы на приоритет каждого критерия и суммирования по всем критериям.

Более сложная иерархическая структура, содержащая глобальные и локальные значения приоритетов по умолчанию.

Если приоритеты критериев изменятся, то изменятся значения глобальных приоритетов альтернатив, следовательно, может измениться их порядок. На рисунке показано решение данной задачи с изменившимися значениями приоритетов критериев, при этом наиболее предпочтительной альтернативой становится A3.

Метод анализа иерархий (МАИ), предложенный Т.Л. Саати, основан на парных сравнениях альтернативных вариантов по различным критериям с использованием девятибалльной шкалы и последующим ранжированием набора альтернатив по всем критериям и целям. Взаимоотношения между критериями учитываются путем построения иерархии критериев и применением парных сравнений для выявления важности критериев и подкритериев.

К основным процедурам метода анализа иерархий относятся следующие:

Генерация множества альтернативных вариантов;

Формирование множества критериев для оценки альтернативных вариантов и представление его в виде иерархии;

Выявление предпочтений экспертов на множестве альтернатив по различным критериям;

Установление относительной важности влияния критериев на общую цель и другие критерии;

Получение ранжированных наборов альтернатив по всем критериям и целям.

Все оценки определяются экспертами. Сначала эксперты генерируется множество допустимых альтернатив, среди которых необходимо провести выбор лучшей альтернативы или упорядочивание всех элементов.

Вершиной иерархий обычно является глобальная цель, на следующих уровнях присутствуют критерии и на самом нижнем уровне - альтернативы.

Иерархическая структура критериев и целей является моделью знаний конкретной предметной области, которая изменяется и уточняется с течением времени.

Элементы одного уровня иерархии попарно сравниваются по силе их влияния на элементы более высокого уровня. Результаты заносятся в матрицу попарных сравнений. При сравнении элемента с самим собой имеем равную значительность «1», т.е. главная диагональ матрицы состоит из единиц. В МАИ используется 9-балльная шкала вида:

Интенсивности относительной важности	Определение	Объяснение
	Равная важность	Равный вклад двух объектов в достижении цели
	Умеренное превосходство одного над другим	Опыт и суждения дают легкое превосходство одному объекту над другим
	Существенное или сильное превосходство	Опыт и суждения дают сильное превосходство одному объекту над другим
	Значительное превосходство	Одному объекту дается настолько сильное превосходство над другим, что оно становится значимым
	Очень сильное превосходство	Очевидность превосходства одного объекта над другим подтверждается наиболее сильно
	Промежуточные значения между двумя соседними суждениями	Принимаются в компромиссных случаях
Обратные величины приведенных чисел	Если при сравнении одного объекта с другим получено одно из вышеуказанных чисел (например 3), то при сравнении второго объекта с первым получим обратную величину (т.е.1/3)

Следующий шаг состоит в вычислении вектора приоритетов по данной матрице. Существует несколько методов оценки этого вектора. Например, суммировать элементы каждой строки матрицы и нормировать делением каждой суммы на сумму всех элементов матрицы. Первый элемент результирующего вектора будет приоритетом первого объекта, второй - второго объекта и т.д.

В общем случае (при наличии более трех уровней) иерархия оценивается следующим образом:

1. Производится попарное сравнение элементов 2-го уровня по степени влияния на выполнение цели. Результаты заносятся в матрицу попарных сравнений A 1 ;

2. Производится попарное сравнение элементов 3-го уровня по степени влияния на каждый критерий 2-го уровня. Результаты заносятся в n 1 (n 1 - количество критериев) матриц попарных сравнений A 11 ...A n1 ;

3. Действия п.2 повторяются для всех оставшихся уровней (если они есть);

4. Для каждой матрицы вычисляется вектор приоритетов;

5. Каждый элемент вектора приоритетов 2-го уровня умножается на соответствующий элемент вектора приоритетов каждой из матриц (A 11 ...A n1). После сложения всех произведений получается вектор приоритетов 3-го уровня;

6. Действия п.5 выполняются для всех оставшихся уровней.

В результате получается вектор приоритетов n-го уровня по степени влияния на выполнение цели.

Уровень цели

5. Месторасположение

4. Коллектив

2. Интересно

Уровень критериев Вектор приоритетов (0,4; 0,15; 0,25; 0,1; 0,1)

Уровень альтернатив

Матрицы попарных сравнений альтернатив имеют вид (всего их 5 – по количеству критериев, для каждого критерия своя матрица):

Векторы приоритетов альтернатив:

По критерию 1 – (0,5; 0,3; 0,2)

По критерию 2 – (0,4; 0,4; 0,2)

По критерию 3 – (0,3; 0,3; 0,4)

По критерию 4 – (0,2; 0,3; 0,5)

По критерию 5 – (0,1; 0,3; 0,6)

По влиянию на цель – (0, 365; 0,315; 0,31) Выбирается альтернатива А

0,4×0,5+0,15×0,4 + 0,25×0,3 + 0,1×0,2 + 0,1×0,1 = 0,365

0,4×0,3+ 0,15×0,4+ 0,25×0,3+ 0,1×0.3+ 0,1×0,3 = 0,315

0,4×0,2+ 0,15×0,2+ 0,25×0,4+ 0,1×0,5+0,1×0,6 = 0,32

В рамках МАИ нет общих правил для формирования структуры модели принятия решения. Это является отражением реальной ситуации, поскольку всегда для одной и той же проблемы имеется целый спектр мнений. Метод позволяет учесть это обстоятельство с помощью построения дополнительной модели для согласования различных мнений, посредством определения их приоритетов . Таким образом, метод позволяет учитывать «человеческий фактор» при подготовке принятия решения. Это одно из важных достоинств данного метода перед другими методами принятия решений.

Формирование структуры модели принятия решения в МАИ достаточно трудоемкий процесс. Однако в итоге удается получить детальное представление о том, как именно взаимодействуют факторы, влияющие на приоритеты альтернативных решений, и сами решения. Как именно формируются рейтинги возможных решений и рейтинги, отражающие важность факторов.

В рамках МАИ нет средств для проверки достоверности данных. Этот недостаток ограничивает отчасти возможности применения метода. Однако метод применяется главным образом в тех случаях, когда в принципе не может быть объективных данных, а ведущими мотивами для принятия решения являются предпочтения людей.

Работа по подготовке принятия решений часто является слишком трудоемкой для одного человека. Однако применение метода позволяет разбить большую задачу, на ряд малых самостоятельных задач. Благодаря этому для подготовки принятия решения можно привлечь экспертов, работающих независимо друг от друга над локальными задачами.

Метод дает только способ рейтингования альтернатив, но не имеет внутренних средств для интерпретации рейтингов, т.е. считается, что ЛПР, зная рейтинг возможных решений, должен в зависимости от ситуации сам сделать вывод. Это следует признать недостатком метода.

Метод дает удобные средства учета экспертной информации для решения различных задач. Он отражает естественный ход человеческого мышления и дает не только способ выявления наиболее предпочтительного решения, но и позволяет количественно выразить степень предпочтительности по средством рейтингования. Это способствует полному и адекватному выявлению предпочтений ЛПР. Кроме того, оценка меры противоречивости использованных данных позволяет установить степень доверия к полученному результату.

Примечание. Упомянутая в 2.3.2 схема оценки альтернативы по совокупности оценок ее эффективности для множества частных критериев может использоваться в рамках других МПР как самостоятельный алгоритм принятия решения на основе линейной свертки оценок по частным критериям:

1. Для каждой допустимой альтернативы A 1 ,…,A n оценить степень удовлетворения ею каждого из частных критериев К 1 ,…,К m в единой балльной шкале. В результате получаем матрицу оценок вида

с 11 ,…,с 1 m

с n 1 ,…,с nm

где с ij , 1≤i≤n, 1≤j≤m – оценка степени выполнения критерия К j в случае выбора альтернативы A i

2. Оценить относительную важность (построить веса) критериев

3 Для каждой из альтернатив A i , i=1,…,n оценить степень удовлетворения ею общей цели ЗПР как взвешенное среднее вида

3 В качестве решения выбрать ту альтернативу, которой соответствует максимальная оценка

2.3.3 Нечеткое множество и функция принадлежности

Построение моделей автоматизации процесса принятия решений для задач управления на основе экспертной информации, имеющих нечеткое описание, базируется на понятиях «нечеткое множество» и «лингвистическая переменная».

2.3.3.1 Коротко остановимся на понятии лингвистической переменной. Не вдаваясь в тонкости, ее можно определить как переменную, значениями (термами) которой являются не числа, а слова или предложения естественного (или формального) языка. Например, лингвистическая переменная "возраст" может принимать следующие значения: очень молодой, молодой, среднего возраста, старый, очень старый и другие - в зависимости от требуемой степени детальности описания. Ясно, что переменная "возраст" будет обычной переменной, если ее значения - точные числа; лингвистической она становится будучи использована в нечетких рассуждениях человека.

Каждому терму лингвистической переменной соответствует определенное нечеткое множество со своей функцией принадлежности, которая описывает совместимость этого терма с различными числовыми значениями.

Пример возможного соответствия значений лингвистической переменной «оценка» количественным интервальным значениям

Более детально с понятием лингвистической переменной и многочисленными примерами можно познакомиться в книге Заде, Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к понятию приближенных решений / Л.А. Заде. – М.: Мир, 1976.

2.3.3.2 В обычной теории множеств существуют несколько способов задания множества. Одним из них является задание с помощью характеристической функции, определяемой следующим образом. Пусть U - так называемое универсальное множество, из элементов которого образованы все остальные множества, рассматриваемые в настоящей задаче, например множество всех целых или действительных чисел и т.д. Характеристическая функция подмножества A  U - это функция mA, значения которой указывают, является ли элемент x из U элементом множества A. В классической теории множеств эта функция принимает два значения: mA(х)=0 (х не является элементом А) и mA(х)=1 (х является элементом А).

С точки зрения характеристической функции нечеткие множества являются естественным обобщением обычных множеств, когда мы отказываемся от бинарного характера этой функции и предполагаем, что она может принимать любые значения из отрезка . В теории нечетких множеств характеристическая функция называется функцией принадлежности , а ее значение mA(x) - степенью принадлежности элемента x нечеткому множеству A.

В результате нечеткое множество определяется набором пар {(x; mA(x))}, где mA - функция принадлежности

Например, запись A = {(a; 0), (b; 0,1), (c; 0,5), (d; 0,9), (e; 1)} может трактоваться следующим образом: элемент a не принадлежит множеству A, элемент b принадлежит ему в малой степени, элемент c более или менее принадлежит, элемент d принадлежит в значительной степени, e является элементом A.

Потребность в таких множествах часто возникает при рассмотрении плохоформализуемых свойств и понятий. Например, как формализовать понятие «молодой человек». Не будешь же людей младше 25 четко причислять к числу молодых, а людей старше 25 четко не причислять к молодым. Если через М обозначить множество молодых людей, то разумнее, например, принять градацию типа mМ(x)=1 для людей младше 25 лет, mМ(x)=0,8 для людей младше 30 лет, mМ(x)=0 для людей старше 50 лет и т.д.

Конкретный вид функций принадлежности определяется на основе различных дополнительных предположений о свойствах этих функций (симметричность, монотонность, непрерывность первой производной и т.д.) с учетом специфики имеющейся неопределенности, реальной ситуации на объекте и числа степеней свободы в функциональной зависимости. Вид данной функции носит в значительной мере субъективный характер. Уменьшить степень этой субъективности можно, используя метод экспертных оценок, суть которого состоит в том, что как вид функции принадлежности, так и значения соответствующих параметров являются результатом коллективного творчества группы специалистов в рассматриваемой области - экспертов.

Во многих практических ситуациях функция принадлежности должна быть оценена исходя из частичной информации о ней, скажем такой, как значения, принимаемые ею на конечном множестве опорных точек х 1 ,...,х n . В этом случае говорят, что она частично определена с помощью "поясняющего примера".

На рис. приведены все основные виды функций принадлежности, применяемые в теории нечетких множеств.

Рис.4.1. Примеры различных способов построения функций принадлежности.

Рисунок – Классификация методов построения функций принадлежности нечетких множеств

Прямые методы характеризуются тем, что эксперт непосредственно задает правила определения значений функции принадлежности μ А (х), характеризующей элемент х.

Эти значения согласуются с его предпочтениями на множестве элементов Х следующим образом:

1. Для любых х 1 , х 2 Î Х μ А (х 1) < μ А (х 2) тогда и только тогда, когда х 2 предпочтительнее х 1 , т.е. в большей степени характеризуется свойством А;

2. Для любых х 1 , х 2 Î Х μ А (х 1) = μ А (х 2) тогда и только тогда, когда х 1 и х 2 безразличны относительно свойства А.

Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Разновидностями прямых методов являются прямые групповые методы , когда, например, группе экспертов предъявляют конкретный объект, и каждый должен дать один из двух ответов: принадлежит или нет этот объект к заданному множеству. Тогда число утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение функции принадлежности объекта к данному нечеткому множеству.

Прямыми методами являются также непосредственное задание функции принадлежности таблицей, графиком или формулой.

Из анализа результатов исследований и решения практических задач, связанных с необходимостью обрабатывать информацию, известно, что прямые методы в основном используются в качестве вспомогательных, т. к. характеризуются большой долей субъективизма.

Косвенные методы построения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяются нечеткие множества.

В косвенных методах значения функции принадлежности выбираются таким образом, чтобы удовлетворить заранее сформулированным условиям . Экспертная информация является только исходной информацией для дальнейшей обработки. Дополнительные условия могут налагаться как на вид получаемой информации, так и на процедуру ее обработки. К таким методам относятся статистический метод, метод парных сравнений, метод экспертных оценок и ряд других. Например, метод построения функции принадлежности на основе парных сравнений основан на обработке матриц оценок, отражающих мнение эксперта об относительной принадлежности элементов множеству или степени выраженности у них свойства, формализуемого множеством. Метод статистических данных основан на обработке статистической информации. В качестве степени принадлежности элемента множеству принимается оценка частоты использования понятия, задаваемого нечетким множеством, для характеристики элемента.

На универсальной шкале необходимо разместить значения лингвистической переменной: ОЧЕНЬ МАЛО, МАЛО, СРЕДНЕ, МНОГО, ОЧЕНЬ МНОГО. Тогда степень принадлежности некоторого значения вычисляется как отношение числа экспериментов, в которых оно встречалось в определенном интервале шкалы, к максимальному для этого значения числу экспериментов по всем интервалам . Метод основывается на условии, что в каждый интервал шкалы попадает одинаковое число экспериментов. Это условие часто не соблюдается. В реальных случаях составляется эмпирическая таблица, в которой эксперименты могут быть распределены неравномерно по интервалам, а в некоторые интервалы могут вообще не попасть.

Данный метод может быть использован для формализации задачи выбора альтернатив, т. к. эксперты могут определить конкретное множество допустимых альтернатив и удалить не нужные. В данном случае оценки отдельных экспертов можно рассматривать как независимые реализации случайной величины.

Построение функции принадлежности на основе экспертных оценок - данный метод построения функций принадлежности основан на использовании нечетких чисел, приблизительно равных некоторому четкому числу, и приближенных интервальных оценок, отражающих мнения экспертов по рассматриваемому вопросу. Задача сводится к отысканию параметров заранее заданной (экспоненциальной) функции, при решении которой используются результаты экспертного опроса. Этот метод часто целесообразнее всего использовать при решении задач выработки и оценки альтернатив.

Построение функций принадлежности на основе интервальных оценок. Данный метод применяется для формализованного представления задач выбора, в которых отсутствует четкая грань между допустимым и недопустимым (в пространстве неуправляемых параметров) и между идеальным и неудовлетворительным состояниями (в пространстве критериев).

Метод анализа иерархий, МАИ -- разработан Т. Саати и является методом измерения взаимозависимости в системе, систематической процедурой для иерархического представления элементов доминантной, прямой или обратной иерархии, системно описывающих проблему. В рамках данного метода взаимозависимость измеряется (оценивается) путем сравнения вкладов в вышестоящие узлы иерархии нижестоящих видов деятельности или критериев (подиерархии). Метод предполагает последовательное осуществление процедур:

-- декомпозиции проблемы на части (элементы);
-- получения экспертных заключений по парным сравнениям, синтеза множества суждений;
-- определения относительной степени (интенсивности) взаимодействия элементов в иерархии;
-- определения численного выражения интенсивности взаимодействия.

В этом методе предусматривается декомпозиция проблемы на части, ее структурирование и выделение иерархии, содержащей различные главные цели, подцели, критерии или уровней мероприятий, альтернатив, подлежащих оценке и дальнейшая обработка последовательности суждений ЛПР по попарным сравнениям. Данный метод включает процедуры синтеза множественных суждений, оценку приоритетности факторов (критериев) и нахождения альтернативных стратегий (решений) Преимуществом МАИ над большинством существующих методов оценивания стратегических альтернатив является четкое выражение суждений экспертов и лиц, принимающих решения, а также ясное представление структуры проблемы: элементов и взаимозависимостей между ними. Метод анализа иерархий опирается на достаточно простые элементы, которые оцениваются в шкале МАИ в виде суждений экспертов. А затем на основании обработки экспертных оценок определяется относительная степень их взаимного влияния в иерархии.

Для анализа стоимость-эффективность необходимо построить две иерархии: одну для издержек, другую для выгод с одними и теми же альтернативами на нижнем уровне. Критерии для выгод и для издержек не обязательно должны быть противоположными друг другу, но они должны различаться.

Главная цель проблемы является высшим уровнем иерархии. За целью следует уровень наиболее важных критериев. Каждый из критериев может разделяться на субкритерии. За субкритериями следует уровень альтернатив, число которых может быть достаточно большим.

Методика МАИ включает парные сравнения, разработку шкалы для преобразований суждений в числовые значения, использование обратно симметричных отношений, гомогенную кластеризацию иерархических уровней, иерархическую композицию проблемы .

Порядок применения Метода Анализа Иерархий:

1. Построение качественной модели проблемы в виде иерархии, включающей цель, альтернативные варианты достижения цели и критерии для оценки качества альтернатив.
2. Определение приоритетов всех элементов иерархии с использованием метода парных сравнений.
3. Синтез глобальных приоритетов альтернатив путем линейной свертки приоритетов элементов на иерархии.
4. Проверка суждений на согласованность.
5. Принятие решения на основе полученных результатов.
1. Первый шаг МАИ -- построение иерархической структуры, объединяющей цель выбора, критерии, альтернативы и другие факторы, влияющие на выбор решения. Построение такой структуры помогает проанализировать все аспекты проблемы и глубже вникнуть в суть задачи.. Декомпозиция предусматривает структурирование задачи в виде иерархии. В наиболее простом виде иерархия строится с вершины (цель), через промежуточные уровни (критерии) к самому низкому уровню, который обычно является перечнем альтернативных решений. Число уровней иерархии, описывающих конкретную задачу, может быть различно и зависит от специфики задачи. Каждый элемент верхнего уровня является «направляющим» для элементов нижнего уровня иерархии. Это означает, что важность (весовой коэффициент) критериев в описываемой альтернативе рассматривается относительно цели выбора альтернатив. При бинарном сравнении критериев каждый из них оценивается относительно поставленной цели и соответственно определяет уровни взаимного предпочтения.
2. Затем определяется вес элементов на первом уровне иерархии. Для каждого из этих элементов строится матрица векторов-столбцов элементов, находящихся на следующем уровне иерархии. Векторы весов элементов этого уровня используются для взвешивания собственных векторов-столбцов. Перемножением матрицы векторов на вектор-столбец весов рассчитывают общий вектор весов элементов нижнего уровня.

Расчеты необходимо проводить в матричной форме. При этом должно соблюдаться свойство обратной симметрии.

3. Сущность попарных сравнений заключается в сравнении элементов задачи (критерии, альтернативы) попарно по отношению к их воздействию (весу, интенсивности) на общую для них характеристику. Парные сравнения критериев и альтернатив проводятся в терминах доминирования одного из элементов над другим. Эти суждения в шкале МАИ выражаются в целых числах. Если элемент А доминирует над элементом В, то клетка квадратичной матрицы, соответствующая строке А и столбцу В, заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке В и столбцу А, - обратным ему числом. Если А и В эквивалентны, то в обе позиции записывается 1.

· Какой из них важнее или имеет большее воздействие?
· Какой из них более вероятен?
· Какой из них предпочтительнее?

Процедура определения собственных векторов матриц поддается приближению с помощью вычисления геометрической средней.

Пусть: A 1 ...A n - множество из n элементов; W 1 ...W n - соотносятся следующим образом:

Таблица 4 - Парные сравнения

Для получения каждой матрицы требуется n(n - 1)/2 суждений, где n - число критериев, если сравнение проводится среди них, или число альтернатив, если они сравниваются по каждому критерию. При бинарном сравнении альтернатив, особенно при близких оценках их показателей, возможны случаи нарушения требований транзитивности или других ошибок в суждениях, поэтому МАИ предусматривает специальный механизм определения согласованности оценок.

4. Обработка результатов в методике МАИ осуществляется на базе методов матричного анализа с использованием специальных процедур оценки субъективных суждений на основании шкалы сравнений.

Для обоснования шкалы МАИ учитывается, что способность человека производить количественные разграничения можно представить пятью определениями: а) равный; б) слабый; в) сильный; г) очень сильный; д) абсолютный. Можно принять компромиссные определения между отмеченными соседними, когда нужна большая точность. В целом

требуется девять значений, выносимых при сравнении объектов суждений. Использование единицы в начале шкалы соответствует отношению значимости объекта относительно самого себя.

Для определения значений суждений следует начинать сравнение с левого элемента матрицы постановкой вопроса: насколько он важнее каждого из элементов, расположенных вверху (какой более вероятен или какой более предпочтителен). Если сравниваемый элемент важнее того, с которым он сравнивается, то в соответствующую позицию матрицы заносится целое число из шкалы относительной важности; в противном случае берется обратная величина. При сравнения элемента с самим собой отношение равно единице.

5. Для объединения суждений целесообразно найти среднегеометрическое значение путем перемножения соответствующих числовых значений в каждой строке матрицы суждений и извлечении корня степени, равной числу оцениваемых элементов. В результате получаем значение компонент собственного вектора.

Таблица 5 - Синтез локальных приоритетов критериев

	Компоненты вектора приоритета	Нормативный вектор
	х1=а /s
		х2=b /s
		х3=c /s
s =а +b +с

1) суммировать элементы каждой строки и нормализовать делением каждой суммы на суммы всех элементов. Сумма полученных результатов равна 1. Первый элемент результирующего вектора будет приоритетом первого объекта (в данном случае первого фактора) и т. д.;
2) суммировать элементы каждого столбца и получить обратные элементы этих сумм. Нормализовать их так, чтобы сумма равнялась единице, разделив каждую обратную величину на сумму всех обратных величин;
3) разделить элементы каждого столбца на сумму элементов этого столбца, т. е. нормализовать столбец. Затем сложить элементы каждой полученной строки и разделить эту сумму на число элементов в строке - усреднение по нормализованным столбцам;
4) умножить п элементов каждой строки и извлечь из произведения корень п-й степени. Нормализовать полученные числа.

В общем случае, когда матрица М[п] содержит элементы согласованности суждений, указанные способы дают различные результаты векторов приоритетов

(факторов взвешивания).
6. Синтез приоритетов заключается в разработке глобального критерия оценки альтернативных вариантов решения на базе системы локальных приоритетов. Система локальных приоритетов - это совокупность векторов приоритетов по каждой матрице попарных сравнений. Один вектор приоритетов показывает значимость критериев и определяется по матрице попарных сравнений критериев. Остальные векторы приоритетов показывают значимость (результаты сравнения) вариантов по соответствующему критерию. Вектор приоритетов представляет собой нормализованный собственный вектор матрицы попарных сравнений.

Таблица 6 - Синтез локальных приоритетов альтернатив

	Компоненты вектора приоритета	Нормативный вектор



s= а+в+с

7. После определения вектора приоритетов находят оценки согласованности мнений экспертов. Для этого определяется отношение согласованности локальных критериев. Расчет показателей согласованности выполняется следующим образом.

Определяется приближенная оценка главного собственного значения матрицы суждений. Для этого определяется сумма по каждому столбцу суждений, а затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов, сумма второго столбца - на вторую компоненту и т. д. Полученные числа суммируются, таким образом, получаемая величина лmах называется оценкой максимума (главного значения матрицы М). Это приближение используется для оценки согласованности суждений эксперта. Чем ближе лmах к n, тем более согласованным является представление в матрице М[n] суждений. Отклонение от согласованности называют индексом согласованности (ИС):

Таблица 7 - Определение случайной согласованности

8. После проверки согласованности локальных приоритетов определяется глобальный критерий для каждого возможного варианта решений. Приоритеты синтезируются, начиная со второго уровня и вниз. Локальные приоритеты перемножаются на приоритет соответствующего критерия (взвешиваются) вышестоящего уровня и суммируются по каждому элементу в соответствии с критериями, на которые воздействует этот элемент. Это удобно представить в виде матрицы глобальных приоритетов.

Таблица 8 - Матрица глобальных приоритетов

Обобщенные веса или приоритетность объекта при их выборе равны сумме произведений локальных приоритетов каждого объекта по каждому критерию на значимость этого критерия.

Сравнивая полученные значения глобальных приоритетов, определяют рейтинг для всех стратегий. Высокий рейтинг будет соответствовать наибольшему значению глобального вектора приоритета или наиболее предпочтительной альтернативной стратегии. Оценить полезность вариантов выбора конкурентных стратегий можно с помощью нечеткой статистической теории принятия решений.

Основные этапы формирования и выбора конкурентной стратегии организации с использованием аналитических и процедурных методов, в частности, метода анализа иерархий, положенные в основу разработанной методики, представлены на рис. 5.

Достоинством предлагаемой методики выбора конкурентной стратегии является то, что метод МАИ в отличие от других экспертных дает возможность оценивать сразу и качественные, и количественные характеристики посредством перехода к безразмерным показателям. С помощью этого метода можно осуществлять поиск оптимальной конкурентной стратегии в любой рыночной ситуации, так как он позволяет сравнивать все факторы одновременно, определяя значимость путем сравнения попарно каждого с каждым. В результате определяется относительная степень (интенсивность) взаимодействия элементов в иерархии. При этом другие методы позволяют одновременно сравнивать, как правило, только по два фактора.

Рисунок 5 - Этапы формирования и выбора стратегии организации методом анализа иерархий (МАИ)

Метод анализа иерархий (МАИ) - математический инструмент системного подхода к сложным проблемам принятия решений.

МАИ не предписывает лицу, принимающему решение (ЛПР), какого-либо «правильного» решения, а позволяет ему в интерактивном режиме найти такой вариант (альтернативу), который наилучшим образом согласуется с его пониманием сути проблемы и требованиями к её решению.

Этот метод разработан американским математиком Томасом Л. Саати , который написал о нем книги, разработал программные продукты и в течение 20 лет проводит симпозиумы ISAHP (англ. International Symposium on Analytic Hierarchy Process ). МАИ широко используется на практике и активно развивается учеными всего мира. В его основе наряду с математикой заложены и психологические аспекты. МАИ позволяет понятным и рациональным образом структурировать сложную проблему принятия решений в виде иерархии, сравнить и выполнить количественную оценку альтернативных вариантов решения. Метод анализа иерархий используется во всем мире для принятия решений в разнообразных ситуациях: от управления на межгосударственном уровне до решения отраслевых и частных проблем в бизнесе , промышленности , здравоохранении и образовании .

Для компьютерной поддержки МАИ существуют программные продукты, разработанные различными компаниями.

Анализ проблемы принятия решений в МАИ начинается с построения иерархической структуры, которая включает цель, критерии, альтернативы и другие рассматриваемые факторы, влияющие на выбор. Эта структура отражает понимание проблемы лицом, принимающим решение.

Каждый элемент иерархии может представлять различные аспекты решаемой задачи, причем во внимание могут быть приняты как материальные, так и нематериальные факторы, измеряемые количественные параметры и качественные характеристики, объективные данные и субъективные экспертные оценки . Иными словами, анализ ситуации выбора решения в МАИ напоминает процедуры и методы аргументации, которые используются на интуитивном уровне.

Следующим этапом анализа является определение приоритетов, представляющих относительную важность или предпочтительность элементов построенной иерархической структуры, с помощью процедуры парных сравнений. Безразмерные приоритеты позволяют обоснованно сравнивать разнородные факторы, что является отличительной особенностью МАИ. На заключительном этапе анализа выполняется синтез (линейная свертка) приоритетов на иерархии, в результате которой вычисляются приоритеты альтернативных решений относительно главной цели. Лучшей считается альтернатива с максимальным значением приоритета.

Пример задачи многокритериального выбора с простейшей иерархией

В данной задаче необходимо выбрать из трех кандидатов одного на должность руководителя (см. рисунок). Кандидаты оцениваются по критериям: возраст, опыт, образование и личные качества. На рисунке показана иерархия для этой задачи. Простейшая иерархия содержит три уровня: цель, критерии и альтернативы. Числа на рисунке показывают приоритеты элементов иерархии с точки зрения цели, которые вычисляются в МАИ на основе парных сравнений элементов каждого уровня относительно связанных с ними элементами вышерасположенного уровня. Приоритеты альтернатив относительно цели (глобальные приоритеты) вычисляются на заключительном этапе метода путём линейной свертки локальных приоритетов всех элементов. В данном примере лучшим кандидатом является Дик, так как имеет максимальное значение глобального приоритета

Сфера образования и научных исследований

Раз в два года проводится Международный симпозиум, посвященный МАИ (International Symposium on Analytic Hierarchy Process, ISAHP), на котором встречаются как ученые, так и практики, работающие с МАИ. В 2007 году симпозиум проходил в Вальпараисо, Чили, где было представлено более 90 докладов ученых из 19 стран, включая США, Германию, Японию, Чили, Малайзию, и Непал .

Методика применения МАИ

Порядок применения МАИ:

Рассмотрим эти шаги подробнее.

Моделирование проблемы в виде иерархии

Определение иерархической структуры

Объяснение иерархических структур, используемых в МАИ

Иерархические структуры, используемые в МАИ, представляют собой инструмент для качественного моделирования сложных проблем. Вершиной иерархии является главная цель; элементы нижнего уровня представляют множество вариантов достижения цели (альтернатив); элементы промежуточных уровней соответствуют критериям или факторам, которые связывают цель с альтернативами.

Существуют специальные термины для описания иерархической структуры МАИ. Каждый уровень состоит из узлов. Элементы, исходящие из узла, принято называть его детьми (дочерними элементами). Элементы, из которых исходит узел, называются родительскими. Группы элементов, имеющие один и тот же родительский элемент, называются группами сравнения. Родительские элементы альтернатив, как правило, исходящие из различных групп сравнения, называются покрывающими критериями. Используя эти термины для описания представленной ниже диаграммы, можно сказать, что четыре критерия - это дети цели; в свою очередь, цель - это родительский элемент для любого из критериев. Каждая Альтернатива - это дочерний элемент каждого из включающих её критериев. Всего на диаграмме присутствует две группы сравнения: группа, состоящая из четырех критериев и группа, включающая три Альтернативы.

Вид любой иерархии МАИ будет зависеть не только от объективного характера рассматриваемой проблемы, но и от знаний, суждений, системы ценностей, мнений, желаний и т. п. участников процесса. Опубликованные описания применений МАИ часто включают в себя различные схемы и объяснения представленных иерархий . Последовательное выполнение всех шагов МАИ предусматривает возможность изменения структуры иерархии, с целью включения в неё вновь появившихся, или ранее не считавшихся важными, критериев и Альтернатив .

Расстановка приоритетов

Определение приоритетов и пояснения

Приведем пример, в котором локальные приоритеты альтернатив по разным критериям не совпадают. Глобальные приоритеты альтернатив относительно цели вычисляются путём умножения локального приоритета каждой альтернативы на приоритет каждого критерия и суммирования по всем критериям.

См.также

Примечания

Saaty, Thomas L. (2008-06). “Relative Measurement and its Generalization in Decision Making: Why Pairwise Comparisons are Central in Mathematics for the Measurement of Intangible Factors - The Analytic Hierarchy/Network Process” (PDF) . RACSAM (Review of the Royal Spanish Academy of Sciences, Series A, Mathematics) . 102 (2): 251-318. Проверено 2008-12-22 . Проверьте дату в |date= (справка на английском)
Drake, P.R. (1998). “Using the Analytic Hierarchy Process in Engineering Education” (PDF) . International Journal of Engineering Education . 14 (3): 191-196. Архивировано из оригинала (PDF) 2007-11-28. Проверено 2007-08-20 . Используется устаревший параметр |deadlink= (справка)
Bodin, Lawrence; Saul I. Gass (January, 2004). “Exercises for Teaching the Analytic Hierarchy Process” ((недоступная ссылка) - Scholar search) . INFORMS Transactions on Education . 4 (2). Проверено 2009-03-11 . Используется устаревший параметр |coauthors= (справка); Проверьте дату в |date= (справка на английском)
Hallowell, David L. (January 2005). “Analytical Hierarchy Process (AHP) – Getting Oriented” . ISixSigma.com . Архивировано из оригинала 2007-08-11. Проверено 2007-08-21 . Используется устаревший параметр |month= (