Прямая и обратная пропорциональность функции. Прямая и обратная пропорциональные зависимости

Пример

1,6 / 2 = 0,8; 4 / 5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 и т. д.

Коэффициент пропорциональности

Неизменное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности . Коэффициент пропорциональности показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой .

Прямая пропорциональность

Прямая пропорциональность - функциональная зависимость , при которой некоторая величина зависит от другой величины таким образом, что их отношение остаётся постоянным. Иначе говоря, эти переменные изменяются пропорционально , в равных долях, то есть, если аргумент изменился в два раза в каком-либо направлении, то и функция изменяется тоже в два раза в том же направлении.

Математически прямая пропорциональность записывается в виде формулы:

f (x ) = a x ,a = c o n s t

Обратная пропорциональность

Обра́тная пропорциона́льность - это функциональная зависимость , при которой увеличение независимой величины(аргумента) вызывает пропорциональное уменьшение зависимой величины(функции).

Математически обратная пропорциональность записывается в виде формулы:

Свойства функции:

Источники

Wikimedia Foundation . 2010 .

Понятие о прямой пропорциональности

Представьте, что вы задумали купить своих любимых конфет (или чего угодно, что вам очень нравится). У конфет в магазине своя цена. Предположим, 300 рублей за килограмм. Чем больше конфет вы купите, тем больше денег заплатите. То есть если захотите 2 килограмма – заплатите 600 р., а захотите 3 кило – отдадите 900 рублей. С этим вроде бы все ясно, верно?

Если да, то тогда вам сейчас ясно и что такоепрямая пропорциональность– это понятие, которое описывает отношение двух зависящих друг от друга величин. И отношение этих величин остается неизменным и постоянным: на сколько частей увеличивается или уменьшается одна из них, на столько же частей пропорционально увеличивается или уменьшается вторая.

Описать прямую пропорциональность можно такой вот формулой:f(x) = a*x, и a в этой формуле – постоянная величина (a = const). В нашем примере про конфеты цена – это постоянная величина, константа. Она не возрастает и не уменьшается, сколько бы конфет вы не задумали купить. Независимая переменная (аргумент)x– это то, сколько килограммов конфет купить вы собираетесь. А зависимая переменнаяf(x) (функция) – то, сколько денег вы в итоге заплатите за свою покупку. Так что можем подставить в формулу цифры и получить: 600 р. = 300 р. * 2 кг.

Промежуточный вывод такой: если возрастает аргумент, возрастает и функция, если аргумент убывает, функция тоже убывает

Функция и ее свойства

Функцией прямой пропорциональности является частный случай линейной функции. Если линейная функция это y = k*x + b, то для прямой пропорциональности это выглядит так: y = k*x, гдеk называется коэффициентом пропорциональности, и это всегда не равно нулю число. Вычислитьk легко – он находится как частное функции и аргумента: k = у/х.

Чтобы было нагляднее, возьмем еще один пример. Представьте, что из пункта А в пункт Б движется автомобиль. Его скорость – 60 км/ч. Если предположить, что скорость движения остается постоянной, то ее можно принять за константу. И тогда запишем условия в виде: S = 60*t , и эта формула аналогична функции прямой пропорциональности y = k *x . Проведем параллель дальше: если k = у/х, то и скорость автомобиля можно вычислить, зная расстояние между А и Б и затраченное на дорогу время: V = S /t .

А теперь от прикладного применения знаний о прямой пропорциональности вернемся обратно к ее функции. К свойствам которой относится:

областью ее определения является множество всех действительных чисел (а также его подмножества);

функция нечетная;

изменение переменных прямо пропорционально осуществляется по всей длине числовой прямой.

Прямая пропорциональность и ее график

График функции прямой пропорциональности – это прямая, которая пересекает точку начала координат. Чтобы его построить, достаточно отметить только еще одну точку. И соединить ее и начало координат прямой.

В случае с графикомk– это угловой коэффициент. Если угловой коэффициент меньше нуля (k < 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k > 0), график и ось абсцисс образуют острый угол, а функция – возрастающая.

И еще одно свойство графика функции прямой пропорциональности напрямую связано с угловым коэффициентомk. Предположим, у нас две не идентичных функции и, соответственно, два графика. Так вот, если коэффициентыkэтих функций равны, их графики расположены на оси координат параллельно. А если коэффициентыkне равны друг другу, графики пересекаются.

Примеры задач

А теперь решим пару задач на прямую пропорциональность

Начнем с простого.

Задача 1: Представьте, что 5 куриц за 5 дней снесли 5 яиц. А если будет 20 куриц, сколько яиц они снесут за 20 дней?

Решение: Обозначим неизвестное какх. И рассуждать будем следующим образом: во сколько раз больше куриц стало? Разделим 20 на 5 и узнаем, что в 4 раза. А во сколько раз больше яиц снесут 20 куриц за те же 5 дней? Тоже в 4 раза больше. Значит, находим нашх так: 5*4*4 = 80 яиц снесут 20 куриц за 20 дней.

Теперь пример чуть сложнее, перефразируем задачу из «Всеобщей арифметики» Ньютона. Задача 2: Писатель за 8 дней может сочинить 14 страниц новой книги. Если бы у него были помощники, сколько бы человек понадобилось, чтобы написать 420 страниц за 12 дней?

Решение: Рассуждаем, что количество человек (писатель + помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если бы ее пришлось сделать за то же количество времени. Но во сколько раз? Разделив 420 на 14, узнаем, что увеличивается в 30 раз. Но так как по условию задачи на работу дается больше времени, то количество помощников увеличивается не в 30 раз, а таким образом: х = 1 (писатель) * 30 (раз) : 12/8 (дней). Преобразуем и выясним, что х = 20 человек напишут 420 страниц за 12 дней.

Решим еще задачу, похожую на те, что были у нас в примерах.

Задача 3: В одно и то же путешествие отправилось два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найдите скорость второго автомобиля.

Решение: Как вы помните, путь определяется через скорость и время – S = V *t . Поскольку путь оба автомобиля проделали одинаковый, мы можем приравнять два выражения: 70*2 = V*7. Откуда найдем, что скорость второго автомобиля, это V = 70*2/7 = 20 км/ч.

И еще пару примеров заданий с функциями прямой пропорциональности. Иногда в задачах требуется найти коэффициент k.

Задача 4 : Даны функции у = - х/16 и у = 5х/2, определите их коэффициенты пропорциональности.

Решение: Как вы помните, k = у/х. Значит, для первой функции коэффициент равен -1/16, а для второй k = 5/2.

А еще вам может встретиться задание, как Задача 5 : Запишите формулой прямую пропорциональность. Ее график и график функции у = -5х + 3 расположены параллельно.

Решение: Функция, которая дана нам в условии, – линейная. Нам известно, что прямая пропорциональность – частный случай линейной функции. А также мы знаем, что если коэффициенты k функций равны, их графики параллельны. Значит, все, что требуется – это вычислить коэффициент известной функции и задать прямую пропорциональность по знакомой нам формуле: y = k *x . Коэффициент k = -5, прямая пропорциональность: у = -5*х.

Вывод

Теперь вы узнали (или вспомнили, если уже проходили эту тему раньше), что называется прямой пропорциональностью , и рассмотрели ее примеры . Мы также поговорили о функции прямой пропорциональности и ее графике, решили несколько задач для примера.

Если эта статья оказалась полезной и помогла разобраться в теме, расскажите нам об этом в комментариях. Чтобы мы знали, смогли ли принести вам пользу.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Пример

1,6 / 2 = 0,8; 4 / 5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 и т. д.

Коэффициент пропорциональности

Прямая пропорциональность

Математически прямая пропорциональность записывается в виде формулы:

f (x ) = a x ,a = c o n s t

Обратная пропорциональность

Математически обратная пропорциональность записывается в виде формулы:

Свойства функции:

Источники

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Прямая пропорциональность" в других словарях:

прямая пропорциональность - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN direct ratio … Справочник технического переводчика

прямая пропорциональность - tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. direct proportionality vok. direkte Proportionalität, f rus. прямая пропорциональность, f pranc. proportionnalité directe, f … Fizikos terminų žodynas

- (от лат. proportionalis соразмерный, пропорциональный). Соразмерность. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ отлат. proportionalis, пропорциональный. Соразмерность. Объяснение 25000… … Словарь иностранных слов русского языка

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ, пропорциональности, мн. нет, жен. (книжн.). 1. отвлеч. сущ. к пропорциональный. Пропорциональность частей. Пропорциональность телосложения. 2. Такая зависимость между величинами, когда они пропорционально (см. пропорциональный … Толковый словарь Ушакова

Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.. Содержание 1 Пример 2 Коэффициент пропорциональности … Википедия

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ, и, жен. 1. см. пропорциональный. 2. В математике: такая зависимость между величинами, при к рой увеличение одной из них влечёт за собой изменение другой во столько же раз. Прямая п. (при к рой с увеличением одной величины… … Толковый словарь Ожегова

И; ж. 1. к Пропорциональный (1 зн.); соразмерность. П. частей. П. телосложения. П. представительства в парламенте. 2. Матем. Зависимость между пропорционально изменяющимися величинами. Коэффициент пропорциональности. Прямая п. (при которой с… … Энциклопедический словарь

АДМИНИСТРАЦИЯ МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ГОРОД САРАТОВ»

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

"СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 95 С УГЛУБЛЕННЫМ

ИЗУЧЕНИЕМ ОТДЕЛЬНЫХ ПРЕДМЕТОВ"

Методическая разработка

урока алгебры в 7 классе

по теме:

«Прямая пропорциональность

и её график».

Учитель математики

1 квалификационной категории

Горюнова Е.В.

2014 – 2015 учебный год

Пояснительная записка

к уроку по теме:

«Прямая пропорциональность и её график».

Учитель математики Горюнова Елена Викторовна.

Вашему вниманию представлен урок в 7 классе. Учитель работает по программе, составленной на основе Примерных программ основного общего образования и авторской программы для общеобразовательных учреждений Ю.Н. Макарычев. Алгебра.7-9 классы //Сборник программ по алгебре 7-9 классы. М.Просвещение, 2009 составитель Т.А. Бурмистрова. Программа соответствует учебнику алгебры Ю.Н. Макарычев, Н.Г Миндюк, К.И. Нешков., С.Б Суворова., под редакцией С.А. Теляковского «Алгебра 7 класс» (издательство «Просвещение» 2009 год).

На изучение темы «Функции» отводится 14 часов, из них 6 часа на раздел «Функции и их графики», 3 часа - на раздел «Прямая пропорциональность и её график» , 4 часа- на раздел «Линейная функция и её график» и 1ч К/Р.

ЦЕЛИ:

Образовательные:

Развивающие:

3. Побуждать учеников к самоконтролю и взаимоконтролю.

Воспитательные:

Прививать чувство уважения к одноклассникам, внимание к слову, способствовать воспитанию самостоятельности, ответственности, аккуратности при построении чертежей

Достижение этих целей выполняется с помощью ряда задач:

Оборудование урока:

На уроке использовались индивидуальные карточки с заданиями и мультимедийный проектор, все факты об Р. Декарте были взяты учителем в Интернете с официальных сайтов СМИ и переработаны специально для данного урока с учётом темы урока, учебник.

Тип и структура урока:

Данный урок является уроком освоения новых знаний и навыков (типы уроков по В.А. Онищуку), поэтому рационально было применить элементы исследовательской деятельности.

Реализация принципов обучения:

На уроке были реализованы принципы:

Научности обучения.

Принцип систематичности и последовательности в обучении был осуществлён при постоянной опоре на ранее изученный материал.

Сознательность, активность и самостоятельность учащихся достигалась в виде стимулирования познавательной активности с помощью эффективных приёмов и средств наглядности (таких как показ слайдов, предоставления исторических фактов и сведений из жизни математика и философа Р.Декарте, индивидуальных печатных листов учащихся.

На уроке был реализован принцип комфортности.

Формы и методы обучения:

Во время урока были применены различные формы обучения – это индивидуальная и фронтальная работа, взаимопроверка. Такие формы более рациональны для данного типа урока, так как позволяют ребёнку развивать самостоятельность мышления, критичность мысли, способность отстаивания своей точки зрения, умение сравнивать и делать выводы.

Основным методом данного урока является частично-поисковый метод, который характеризуется работой учащихся по решению проблемных познавательных задач.

Физ. минутка представляла собой одновременно и физические упражнения и закрепление только что изученного материала.

В конце урока целесообразно провести обобщение проведённой работы на уроке.

Общие результаты урока:

Считаю, что задачи, поставленные на урок, реализованы, дети применяли знания в новой ситуации, каждый мог высказать свою точку зрения. Использование наглядности в виде презентации, индивидуальных печатных листов учащихся позволяет мотивировать учащихся на каждом этапе урока и избегать перегрузки и переутомления учащихся.

Тема урока :

Дидактическая задача: знакомство с прямой пропорциональностью и построением ее графика.

Цели :

Образовательные:

1. Организовать деятельность учащихся по восприятию темы «Прямая пропорциональность и её график» и первичному закреплению: определения прямой пропорциональности и построения её графика, формировать навыки грамотного построения графиков

2. Создавать условия для создания в памяти учащихся системы опорных знаний и умений, стимулировать поисковую деятельность

Развивающие:

1. Развивать аналитико – синтезирующее мышления (способствовать развитию наблюдательности, умению анализировать, развитие умений классифицировать факты, делать обобщающие выводы).

2. Развивать абстрактное мышление (развитие умений выделять общие и существенные признаки, отличать несущественные признаки и отвлекаться от них).

3. Побуждать учеников к самоконтролю и взаимоконтролю

Воспитательные:

Прививать чувство уважения к одноклассникам, внимание к слову, способствовать воспитанию самостоятельности, ответственности, аккуратности при построении чертежей.

Оборудование: компьютер, презентация, карточки на печатной основе с заданиями на каждого ученика.

План урока:

1.Организационный момент.

2.Мотивация урока.

3.Актуализация знаний.

4.Изучение нового материала.

5. Закрепление материала.

6. Итог урока.

Ход урока.

1.Организационный момент.

Доброе утро, ребята! Мне бы хотелось начать урок со следующих слов. (Слайд 1)

Французский учёный Рене Декарт однажды заметил: «Мыслю, следовательно существую ».

Ребята приготовили сообщение о французском учёном Р.Декарте.

Рене Декарт больше известен как великий философ, чем математик. Но именно он был пионером современной математики, и его заслуги в этой области столь велики, что он по справедливости входит в число великих математиков современности.

Сообщение ученика: (Слайд 2)

Родился Декарт родился во Франции, в небольшом городке Лаэ. Отец его был юристом, мать умерла, когда Рене был 1 год. После окончания коллежа для сыновей аристократических семейств, он по примеру своего брата стал изучать правоведение. В 22–летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера–добровольца служил в войсках разных военачальников, участвовавших в 13-летней войне. Декарт в своем философском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума, и поэтому преследовался католической церковью. Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике, которыми он интересовался с детства, Декарт в 1629 году поселился в Голландии, где прожил почти до конца жизни. Все крупные произведения Декарта по философии, математике, физике, космологии и физиологии написаны им в Голландии.

Математические труды Декарта собраны в его книге „Геометрия" (1637). В „Геометрии" Декарт дал основы аналитической геометрии и алгебры. Декарт первый ввел в математику понятие переменной функции. Он обратил внимание на то, что кривая на плоскости характеризуется уравнением, обладающим тем свойством, что координаты любой точки, лежащей на этой линии, удовлетворяют данному уравнению. Он разделил кривые, заданные алгебраическим уравнением, на классы в зависимости от наибольшей степени неизвестной величины в уравнении. Декарт ввел в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных величин, обозначение степении знак для обозначения бесконечно большой величины. Для переменных и неизвестных величин Декарт принял обозначения х, у, z , а для величин известных и постоянных -a .b .c , как известно, эти обозначения применяются в математике до сегодняшнего дня. Несмотря на то, что в области аналитической геометрии Декарт продвинулся не очень далеко, его труды оказали решающее влияние на дальнейшее развитие математики. На протяжении 150 лет математика развивалась путями, предначертанными Декартом.

Давайте следовать совету учёного. Будем активны, внимательны, будем рассуждать, мыслить и узнавать новое, ведь знания пригодятся вам в дальнейшей жизни.А эти слова(Слайд3) Р.Декарта мне хочется предложить как девиз нашего урока: «Уважение других даёт повод к уважению самого себя».

2.Мотивация.

Проверим с каким настроением вы пришли на урок. Рисуем на полях смайлик.

Возьмите карточки. Тут так же написаны слова Р.Декарта: « Для того, чтобы совершенствовать свой ум надо больше рассуждать, чем заучивать». Эти слова будут для нас руководством в нашей работе.

Задание №1 с математическими терминами, которые мы будем употреблять на уроке. Исправьте ошибки, допущенные в написании этих терминов. (Слайд 4)

Поменяйтесь, листочками и проверьте, все ли ошибки исправлены. (Слайд 5) -Что вы заметили? В каком слове нет ошибок? (функция, график)

3.Актуализация знания.

а) С понятием «функция» мы познакомились на предыдущих уроках. Давайте вспомним основные понятия и определения по этой теме.

С графиками функций мы тоже работали. Какие из слов диктанта мы употребляли при работе по теме «Графики функций»? Что они обозначают?

На этом слайде определите какая из линий будет графиком функции? (Слайд 6)

А кто скажет о чем мы будем рассуждать на этом уроке? Какие цели поставим на урок? (Слайд7)

На листах учащихся записать число и напишем тему урока: «Прямая пропорциональность и ее график»

Вспомним материал прошлых уроков

Составьте формулы, для решения следующих задач. (Слайд 9,10)

Какие переменные зависимые, независимые? Что от чего зависит? Какая зависимость? (Слайд)

Какая из формул отличается от других? (Слайд)

в) Как можно записать формулы в общем виде? (Слайд)

y =kx , y - зависимая переменная

x – независимая переменная

k – постоянное число (коэффициент)

Мы записали формулу, а это один из способов задания функции. Прямая пропорциональная зависимость – функция.

4.Изучение нового материала.

Определение. Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой у=кх, где х – независимая переменная, а к – некоторое число, неравное нулю, коэффициент прямой пропорциональности (неизменное отношение пропорциональных величин)

Прочитаем правило в учебнике на стр.65

Область определения этой функции? (Множество всех чисел)

Закрепление материала.

Выполните задание в листах №4(Слайд) Распредели формулы на 2 группы в соответствии с темой урока: (читаем правило в учебнике на стр.65)

у=2х, у=3х-7 , у=-0,2х, у= х, у=х², у=х, у=-5,8+3х, у=-х, у=50х,

1 группа:_____________________________________________________

2группа:_____________________________________________________

Подчеркните коэффициент прямой пропорциональности.

Выполняем №298 на стр.68 (устно), я диктую, вы на слух определяете формулу пр.пропорциональности и жмурите глаза, если не пр.пропорцинальностью, то вращаете глаза слева на право.

Придумай и запиши 4 формулы функции прямой пропорциональности:

1)у=_________2)у=__________3) у=_________4) у=__________

Изучение нового материала

Каков график этой функции? Хотите узнать?

Мы уже строили в задании№2 график функции, эту функцию мы можем назвать пр.пропорцинальностью? Значит мы уже строили график пр.пропорцинальности. Правило в учебнике на стр. 67.

Посмотрим как будем строить график этой функции (Слайд)

Закрепление материала.

Построим график №7 в листах учащихся (Слайд)

Какую точку мы будем иметь в любом графике пр.пропорцинальности?

Работаем по готовым чертежам. (Слайд)

Вывод: графиком является прямая, проходящая через начало координат.

Т.К. график – прямая, то сколько точек необходимо для ее построения? Одна уже есть (0;0)

Выполняем № 300

Итог урока. Обобщим работу на сегодняшнем уроке (Слайд) . Всё сделали. Что запланировали?

Рефлексия. (Слайд)

Проверить настроение учащихся на конец урока.(смайлик) (Слайд)