Рассмотрим на конкретных примерах, как разложить многочлен на множители.
Разложение многочленов будем проводить в соответствии с .
Разложить многочлены на множители:
Проверяем, нет ли общего множителя. есть, он равен 7cd. Выносим его за скобки:
Выражение в скобках состоит из двух слагаемых. Общего множителя уже нет, формулой суммы кубов выражение не является, значит, разложение завершено.
Проверяем, нет ли общего множителя. Нет. Многочлен состоит из трех слагаемых, поэтому проверяем, нет ли формулы полного квадрата. Два слагаемых являются квадратами выражений: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², третье слагаемое равно удвоенному произведению этих выражений:2∙5x∙3y=30xy. Значит, данный многочлен является полным квадратом. Так как удвоенное произведение со знаком «минус», то это — :
Проверяем, нельзя ли вынести общий множитель за скобки. Общий множитель есть, он равен a. Выносим его за скобки:
В скобках — два слагаемых. Проверяем, нет ли формулы разности квадратов или разности кубов. a² — квадрат a, 1=1². Значит, выражение в скобках можно расписать по формуле разности квадратов:
Общий множитель есть, он равен 5. Выносим его за скобки:
в скобках — три слагаемых. Проверяем, не является ли выражение полным квадратом. Два слагаемых — квадраты: 16=4² и a² — квадрат a, третье слагаемое равно удвоенному произведению 4 и a: 2∙4∙a=8a. Следовательно, это — полный квадрат. Так как все слагаемые со знаком «+», выражение в скобках является полным квадратом суммы:
Общий множитель -2x выносим за скобки:
В скобках — сумма двух слагаемых. Проверяем, не является ли данное выражение суммой кубов. 64=4³, x³- куб x. Значит, двучлен можно разложить по формуле :
Общий множитель есть. Но, поскольку многочлен состоит из 4 членов, мы будем сначала , а уже потом выносить за скобки общий множитель. Сгруппируем первое слагаемое с четвертым, в второе — с третьим:
Из первых скобок выносим общий множитель 4a, из вторых — 8b:
Общего множителя пока нет. Чтобы его получить, из вторых скобок вынесем за скобки «-«, при этом каждый знак в скобках изменится на противоположный:
Теперь общий множитель (1-3a) вынесем за скобки:
Во вторых скобках есть общий множитель 4 (этот тот самый множитель, который мы не стали выносить за скобки в начале примера):
Поскольку многочлен состоит из четырех слагаемых, выполняем группировку. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым:
В первых скобках общего множителя нет, но есть формула разности квадратов, во вторых скобках общий множитель -5:
Появился общий множитель (4m-3n). Выносим его за скобки.
Калькулятор онлайн.
Выделение квадрата двучлена и разложение на множители квадратного трехчлена.
Эта математическая программа выделяет квадрат двучлена из квадратного трехчлена
, т.е. делает преобразование вида:\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) и раскладывает на множители квадратный трехчлен : \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)
Т.е. задачи сводятся к нахождению чисел \(p, q \) и \(n, m \)
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного трехчлена, рекомендуем с ними ознакомиться.
Правила ввода квадратного многочлена
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.
Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.
Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x - 3,5x^2
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Результат: \(3\frac{1}{3} - 5\frac{6}{5} x + \frac{1}{7}x^2 \)
При вводе выражения можно использовать скобки
. В этом случае при решении введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)
Пример подробного решения
Выделение квадрата двучлена.
$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$
$$2x^2+2x-4 = $$
$$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left(\frac{1}{2} \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac{1}{2} \right)^2-\frac{9}{2} = $$
$$2\left(x^2 + 2 \cdot\left(\frac{1}{2} \right)\cdot x + \left(\frac{1}{2} \right)^2 \right)-\frac{9}{2} = $$
$$2\left(x+\frac{1}{2} \right)^2-\frac{9}{2} $$
Ответ:
$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac{1}{2} \right)^2-\frac{9}{2} $$
Разложение на множители.
$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$
$$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$
$$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) \right) = $$
$$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$
Ответ:
$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена
Если квадратный трехчлен aх 2 +bx+c представлен в виде a(х+p) 2 +q, где p и q - действительные числа, то говорят, что из квадратного трехчлена выделен квадрат двучлена .
Выделим из трехчлена 2x 2 +12x+14 квадрат двучлена.
\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)
Для этого представим 6х в виде произведения 2*3*х, а затем прибавим и вычтем 3 2 . Получим:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$
$$ = 2((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$
Т.о. мы выделили квадрат двучлена из квадратного трехчлена
, и показоли, что:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$
Разложение на множители квадратного трехчлена
Если квадратный трехчлен aх 2 +bx+c представлен в виде a(х+n)(x+m), где n и m - действительные числа, то говорят, что выполнена операция разложения на множители квадратного трехчлена .
Покажем на примере как это преобразование делается.
Разложим квадратный трехчлен 2x 2 +4x-6 на множители.
Вынесем за скобки коэффициент a, т.е. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)
Преобразуем выражение в скобках.
Для этого представим 2х в виде разности 3x-1x, а -3 в виде -1*3. Получим:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$
Т.о. мы разложили на множители квадратный трехчлен
, и показоли, что:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$
Заметим, что разложение на множители квадратного трехчлена возможно только тогда, когда, квадратное уравнение, соответсвующее этому
трехчлену имеет корни.
Т.е. в нашем случае разложить на множители трехчлен 2x 2 +4x-6 возможно, если квадратное уравнение 2x 2 +4x-6 =0
имеет корни. В процессе разложения на множители мы установили, что уравнение 2x 2 +4x-6 =0 имеет два корня 1 и -3,
т.к. при этих значениях уравнение 2(x-1)(x+3)=0 обращается в верное равенство.
Любой алгебраический многочлен степени n может быть представлен в виде произведения n-линейных множителей вида и постоянного числа, которое является коэффициентов многочлена при старшей ступени х, т.е.
где 
- являются корнями многочлена.
Корнем многочлена называют число (действительное или комплексное), обращающее многочлен в нуль. Корнями многочлена могут быть как действительные корни, так и комплексно-сопряженные корни, тогда многочлен может быть представлен в следующем виде:
Рассмотрим методы разложения многочленов степени «n» в произведение множителей первой и второй степени.
Способ №1. Метод неопределенных коэффициентов.
Коэффициенты такого преобразованного выражения определяются методом неопределенных коэффициентов. Суть метода сводится к тому, что заранее известен вид множителей, на которые разлагается данный многочлен. При использовании метода неопределённых коэффициентов справедливы следующие утверждения:
П.1. Два многочлена тождественно равны в случае, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.
П.2. Любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей.
П.3. Любой многочлен четвертой степени разлагается на произведение двух многочленов второй степени.
Пример 1.1. Необходимо разложить на множители кубическое выражение:
П.1. В соответствии с принятыми утверждениями для кубического выражения справедливо тождественное равенство:
П.2. Правая часть выражения может быть представлена в виде слагаемых следующим образом:
П.3. Составляем систему уравнений из условия равенства коэффициентов при соответствующих степенях кубического выражения.
Данная система уравнений может быть решена методом подбора коэффициентов (если простая академическая задача) или использованы методы решения нелинейных систем уравнений. Решая данную систему уравнений, получим, что неопределённые коэффициенты определяются следующим образом:
Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители в следующем виде:
Данный метод может использоваться как при аналитических выкладках, так и при компьютерном программировании для автоматизации процесса поиска корня уравнения.
Способ №2. Формулы Виета
Формулы Виета - это формулы, связывающие коэффициенты алгебраических уравнений степени n и его корни. Данные формулы были неявно представлены в работах французского математика Франсуа Виета (1540 - 1603). В связи с тем, что Виет рассматривал только положительные вещественные корни, поэтому у него не было возможности записать эти формулы в общем явном виде.
Для любого алгебраического многочлена степени n, который имеет n-действительных корней,
справедливы следующие соотношения, которые связывают корни многочлена с его коэффициентами:
Формулами Виета удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.
Пример 2.1. Рассмотрим, как связаны корни многочлена с его коэффициентами на примере кубического уравнения
В соответствии с формулами Виета взаимосвязь корней многочлена с его коэффициентами имеет следующий вид:
Аналогичные соотношения можно составить для любого полинома степени n.
Способ №3. Разложение квадратного уравнения на множители с рациональными корнями
Из последней формулы Виета следует, что корни многочлена являются делителями его свободного члена и старшего коэффициента. В связи с этим, если в условии задачи задан многочлен степени n c целыми коэффициентами
то данный многочлен имеет рациональный корень (несократимая дробь), где p - делитель свободного члена , а q – делитель старшего коэффициента . В таком случае многочлен степени n можно представить в виде (теорема Безу):
Многочлен , степень которого на 1 меньше степени начального многочлена, определяется делением многочлена степени n двучлен , например, с помощью схемы Горнера или самым простым способом - «столбиком».
Пример 3.1. Необходимо разложить многочлен на множители
П.1. В связи с тем, что коэффициент при старшем слагаемом равен единицы, то рациональные корни данного многочлена являются делителями свободного члена выражения, т.е. могут быть целыми числами 
. Подставляем каждое из представленных чисел в исходное выражение найдем, что корень представленного многочлена равен .
Выполним деление исходного многочлена на двучлен:
Воспользуемся схемой Горнера
В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена, при этом первая ячейка верхней строки остается пустой.
В первой ячейке второй строки записывается найденный корень (в рассматриваемом примере записывается число «2»), а следующие значения в ячейках вычисляются определенным образом и они являются коэффициентами многочлена, который получится в результате деления многочлена на двучлен. Неизвестные коэффициенты определяются следующим образом:
Во вторую ячейку второй строки переносится значение из соответствующей ячейки первой строки (в рассматриваемом примере записывается число «1»).
В третью ячейку второй строки записывается значение произведения первой ячейки на вторую ячейку второй строки плюс значение из третьей ячейки первой строки (в рассматриваемом примере 2 ∙1 -5 = -3).
В четвертую ячейку второй строки записывается значение произведения первой ячейки на третью ячейку второй строки плюс значение из четвертой ячейки первой строки (в рассматриваемом примере 2 ∙ (-3) +7 = 1).
Таким образом, исходный многочлен раскладывается на множители:
Способ №4. Использование формул сокращенного умножения
Формулы сокращенного умножения применяют для упрощения вычислений, а также разложение многочленов на множители. Формулы сокращенного умножения позволяют упростить решение отдельных задач.
Формулы, используемые для разложения на множители
Рассматривая умножение многочленов, мы запомнили несколько формул, а именно: формулы для (a + b)², для (a – b)², для (a + b) (a – b), для (a + b)³ и для (a – b)³.
Если данный многочлен окажется совпадающим с одною из этих формул, то его явится возможным разложить на множители. Напр., многочлен a² – 2ab + b², мы знаем, равен (a – b)² [или (a – b) · (a – b), т. е. удалось a² – 2ab + b² разложить на 2 множителя]; также
Рассмотрим второй из этих примеров. Мы видим, что данный здесь многочлен подходит к формуле, получающейся от возведения в квадрат разности двух чисел (квадрат первого числа, минус произведение двойки на первое число и на второе, плюс квадрат второго числа): x 6 есть квадрат первого числа, а, следовательно, само первое число есть x 3 , квадратом второго числа является последний член данного многочлена, т. е. 1, само второе число есть, следовательно, также 1; произведением двойки на первое число и на второе является член –2x 3 , ибо 2x 3 = 2 · x 3 · 1. Поэтому наш многочлен получился от возведения в квадрат разности чисел x 3 и 1, т. е. он равен (x 3 – 1) 2 . Рассмотрим еще 4-ый пример. Мы видим, что данный многочлен a 2 b 2 – 25 можно рассматривать, как разность квадратов двух чисел, а именно квадратом первого числа служит a 2 b 2 , следовательно, само первое число есть ab, квадратом второго числа является 25, почему само второе число есть 5. Поэтому наш многочлен можно рассматривать получившимся от умножения суммы двух чисел на их разность, т. е.
(ab + 5) (ab – 5).
Иногда случается, что в данном многочлене члены расположены не в том порядке, к которому мы привыкли, напр.
9a 2 + b 2 + 6ab – мысленно мы можем переставить второй и третий члены, и тогда нам станет ясным, что наш трехчлен = (3a + b) 2 .
… (переставим мысленно первый и второй члены).
25a 6 + 1 – 10x 3 = (5x 3 – 1) 2 и т. п.
Рассмотрим еще многочлен
a 2 + 2ab + 4b 2 .
Мы видим, что первый член его представляет собою квадрат числа a и третий член представляет собою квадрат числа 2b, но второй член не является произведением двойки на первое число и на второе, – такое бы произведение было бы равно 2 · a · 2b = 4ab. Поэтому нельзя применить к этому многочлену формулу квадрата суммы двух чисел. Если бы кто написал, что a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2 , то это было бы неверно – надо тщательно рассмотреть все члены многочлена, прежде чем применять к нему разложение на множители по формулам.
40. Соединение обоих приемов . Иногда при разложении многочленов на множители приходится комбинировать и прием вынесения общего множителя за скобки и прием применения формул. Вот примеры:
1. 2a 3 – 2ab 2 . Вынесем сначала общего множителя 2a за скобки, – получим 2a (a 2 – b 2). Множитель a 2 – b 2 , в свою очередь, разлагается по формуле на множители (a + b) и (a – b).
Иногда приходится применять прием разложения по формулам многократно:
1. a 4 – b 4 = (a 2 + b 2) (a 2 – b 2)
Мы видим, что первый множитель a 2 + b 2 не подходит ни к одной из знакомых формул; мало того, вспоминая особые случаи деления (п. 37), мы установим, что a 2 + b 2 (сумма квадратов двух чисел) вовсе на множители не раскладывается. Второй из полученных множителей a 2 – b 2 (разность квадратом двух чисел) разлагается на множители (a + b) и (a – b). Итак,
41. Применение особых случаев деления . На основании п. 37 мы можем сразу написать, что, напр.,
Приводится 8 примеров разложения многочленов на множители. Они включают в себя примеры с решением квадратных и биквадратных уравнений, примеры с возвратными многочленами и примеры с нахождением целых корней у многочленов третьей и четвертой степени.
1. Примеры с решением квадратного уравнения
Пример 1.1
x 4
+ x 3 - 6
x 2
.
Решение
Выносим x 2
за скобки:
.
2
+ x - 6 = 0
:
.
Корни уравнения:
, .
.
Ответ
Пример 1.2
Разложить на множители многочлен третьей степени:
x 3 + 6
x 2 + 9
x
.
Решение
Выносим x
за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x 2 + 6
x + 9 = 0
:
Его дискриминант: .
Поскольку дискриминант равен нулю, то корни уравнения кратные: ;
.
Отсюда получаем разложение многочлена на множители:
.
Ответ
Пример 1.3
Разложить на множители многочлен пятой степени:
x 5 - 2
x 4 + 10
x 3
.
Решение
Выносим x 3
за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x 2 - 2
x + 10 = 0
.
Его дискриминант: .
Поскольку дискриминант меньше нуля, то корни уравнения комплексные: ;
, .
Разложение многочлена на множители имеет вид:
.
Если нас интересует разложение на множители с действительными коэффициентами, то:
.
Ответ
Примеры разложения многочленов на множители с помощью формул
Примеры с биквадратными многочленами
Пример 2.1
Разложить биквадратный многочлен на множители:
x 4 +
x 2 - 20
.
Решение
Применим формулы:
a 2 + 2
ab + b 2 = (a + b) 2
;
a 2
- b 2 = (a - b)(a + b)
.
;
.
Ответ
Пример 2.2
Разложить на множители многочлен, сводящийся к биквадратному:
x 8 +
x 4 + 1
.
Решение
Применим формулы:
a 2 + 2
ab + b 2 = (a + b) 2
;
a 2
- b 2 = (a - b)(a + b)
:
;
;
.
Ответ
Пример 2.3 с возвратным многочленом
Разложить на множители возвратный многочлен:
.
Решение
Возвратный многочлен имеет нечетную степень. Поэтому он имеет корень x = -1
.
Делим многочлен на x - (-1)
= x + 1
.
В результате получаем:
.
Делаем подстановку:
, ;
;
;
.
Ответ
Примеры разложения многочленов на множители с целыми корнями
Пример 3.1
Разложить многочлен на множители:
.
Решение
Предположим, что уравнение
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504
;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120
;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60
;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24
;
1 3 - 6·1 2 + 11·1 - 6 = 0
;
2 3 - 6·2 2 + 11·2 - 6 = 0
;
3 3 - 6·3 2 + 11·3 - 6 = 0
;
6 3 - 6·6 2 + 11·6 - 6 = 60
.
Итак, мы нашли три корня:
x 1 = 1
,
x 2 = 2
,
x 3 = 3
.
Поскольку исходный многочлен - третьей степени, то он имеет не более трех корней. Поскольку мы нашли три корня, то они простые. Тогда
.
Ответ
Пример 3.2
Разложить многочлен на множители:
.
Решение
Предположим, что уравнение
имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2
(члена без x
). То есть целый корень может быть одним из чисел:
-2, -1, 1, 2
.
Подставляем поочередно эти значения:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 =
6
;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 =
0
;
1 4 + 2·1 3 + 3·1 3 + 4·1 + 2 = 12
;
2 4 + 2·2 3 + 3·2 3 + 4·2 + 2 = 54
.
Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2
(члена без x
). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, -1, -2
.
Подставим x = -1
:
.
Итак, мы нашли еще один корень x 2
= -1
.
Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен на , но мы сгруппируем члены:
.
Поскольку уравнение x 2 + 2 = 0 не имеет действительных корней, то разложение многочлена на множители имеет вид.