Вывод формулы производной степенной функции (x в степени a). Рассмотрены производные от корней из x. Формула производной степенной функции высшего порядка. Примеры вычисления производных.
Производная от x
в степени a
равна a
,
умноженному на x
в степени a
минус один:
(1)
.
Производная от корня степени n
из x
в степени m
равна:
(2)
.
Вывод формулы производной степенной функции
Случай x > 0
Рассмотрим степенную функцию от переменной x
с показателем степени a
:
(3)
.
Здесь a
является произвольным действительным числом. Сначала рассмотрим случай .
Чтобы найти производную функции (3), воспользуемся свойствами степенной функции и преобразуем ее к следующему виду:
.
Теперь находим производную, применяя :
;
.
Здесь .
Формула (1) доказана.
Вывод формулы производной от корня степени n из x в степени m
Теперь рассмотрим функцию, являющуюся корнем следующего вида:
(4)
.
Чтобы найти производную, преобразуем корень к степенной функции:
.
Сравнивая с формулой (3) мы видим, что
.
Тогда
.
По формуле (1) находим производную:
(1)
;
;
(2)
.
На практике нет необходимости запоминать формулу (2). Гораздо удобнее сначала преобразовать корни к степенным функциям, а затем находить их производные, применяя формулу (1) (см. примеры в конце страницы).
Случай x = 0
Если ,
то степенная функция определена и при значении переменной x = 0
.
Найдем производную функции (3) при x = 0
.
Для этого воспользуемся определением производной:
.
Подставим x = 0
:
.
При этом под производной мы понимаем правосторонний предел, для которого .
Итак, мы нашли:
.
Отсюда видно, что при ,
.
При ,
.
При ,
.
Этот результат получается и по формуле (1):
(1)
.
Поэтому формула (1) справедлива и при x = 0
.
Случай x < 0
Снова рассмотрим функцию (3):
(3)
.
При некоторых значениях постоянной a
,
она определена и при отрицательных значениях переменной x
.
А именно, пусть a
будет рациональным числом. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби:
,
где m
и n
- целые числа, не имеющие общего делителя.
Если n
нечетное, то степенная функция определена и при отрицательных значениях переменной x
.
Например, при n = 3
и m = 1
мы имеем кубический корень из x
:
.
Он определен и при отрицательных значениях переменной x
.
Найдем производную степенной функции (3) при и при рациональных значениях постоянной a
,
для которых она определена. Для этого представим x
в следующем виде:
.
Тогда ,
.
Находим производную, вынося постоянную за знак производной и применяя правило дифференцирования сложной функции :
.
Здесь .
Но
.
Поскольку ,
то
.
Тогда
.
То есть формула (1) справедлива и при :
(1)
.
Производные высших порядков
Теперь найдем производные высших порядков от степенной функции
(3)
.
Производную первого порядка мы уже нашли:
.
Вынося постоянную a
за знак производной, находим производную второго порядка:
.
Аналогичным образом находим производные третьего и четвертого порядков:
;
.
Отсюда видно, что производная произвольного n-го порядка
имеет следующий вид:
.
Заметим, что если a
является натуральным числом
, ,
то n
-я производная является постоянной:
.
Тогда все последующие производные равны нулю:
,
при .
Примеры вычисления производных
Пример
Найдите производную функции:
.
Решение
Преобразуем корни к степеням:
;
.
Тогда исходная функция приобретает вид:
.
Находим производные степеней:
;
.
Производная постоянной равна нулю:
.
При
выводе самой первой формулы таблицы
будем исходить из определения
производнойфункции в точке. Возьмем ,
где x
–
любое действительное число, то есть, x
–
любое число из области определения
функции .
Запишем предел отношения приращения
функции к приращению аргумента при :
Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не являетсянеопределенностью ноль делить на ноль, так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.
Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения .
Производная степенной функции.
Формула
производной степенной функции имеет
вид 
,
где показатель степени p
–
любое действительное число.
Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …
Будем
пользоваться определением производной.
Запишем предел отношения приращения
степенной функции к приращению
аргумента:
Для
упрощения выражения в числителе обратимся
к формуле бинома
Ньютона:
Следовательно,
Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.
Производная показательной функции.
Вывод формулы производной приведем на основе определения:
Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.
Выполним
подстановку в исходный предел:
Если
вспомнить второй
замечательный предел, то придем к
формуле производной показательной
функции:
Производная логарифмической функции.
Докажем
формулу производной логарифмической
функции для всех x
из
области определения и всех допустимых
значениях основания a
логарифма.
По определению производной имеем:
Как
Вы заметили, при доказательстве
преобразования проводились с использованием
свойств логарифма. Равенство 
справедливо
в силу второго замечательного предела.
Производные тригонометрических функций.
Для вывода формул производных тригонометрических функций нам придется вспомнить некоторые формулы тригонометрии, а также первый замечательный предел.
По
определению производной для функции
синуса имеем 
.
Воспользуемся
формулой разности синусов:
Осталось
обратиться к первому замечательному
пределу:
Таким образом, производная функции sin x есть cos x .
Абсолютно
аналогично доказывается формула
производной косинуса.
Следовательно, производная функции cos x есть –sin x .
Вывод
формул таблицы производных для тангенса
и котангенса проведем с использованием
доказанных правил дифференцирования
(производная
дроби).
Производные гиперболических функций.
Правила
дифференцирования и
формула производной показательной
функции из таблицы производных позволяют
вывести формулы производных гиперболического
синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Производная обратной функции.
Чтобы при изложении не было путаницы, давайте обозначать в нижнем индексе аргумент функции, по которому выполняется дифференцирование, то есть, - это производная функции f(x) по x .
Теперь сформулируем правило нахождения производной обратной функции.
Пусть
функции y
= f(x)
и x
= g(y)
взаимно
обратные, определенные на
интервалах и соответственно.
Если в точке существует
конечная отличная от нуля производная
функции f(x)
,
то в точке существует
конечная производная обратной
функции g(y)
,
причем 
.
В другой записи 
.
Можно
это правило переформулировать для
любого x
из
промежутка ,
тогда получим 
.
Давайте проверим справедливость этих формул.
Найдем
обратную функцию для натурального
логарифма 
(здесь y
–
функция, а x
-
аргумент). Разрешив это уравнение
относительно x
,
получим (здесь x
–
функция, а y
–
ее аргумент). То есть, 
и взаимно
обратные функции.
Из таблицы
производных видим,
что 
и 
.
Убедимся,
что формулы нахождения производных
обратной функции приводят нас к этим
же результатам:
Если следовать определению, то производная функции в точке — это предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx :
Вроде бы все понятно. Но попробуйте посчитать по этой формуле, скажем, производную функции f (x ) = x 2 + (2x + 3) · e x · sin x . Если все делать по определению, то через пару страниц вычислений вы просто уснете. Поэтому существуют более простые и эффективные способы.
Для начала заметим, что из всего многообразия функций можно выделить так называемые элементарные функции. Это относительно простые выражения, производные которых давно вычислены и занесены в таблицу. Такие функции достаточно просто запомнить — вместе с их производными.
Производные элементарных функций
Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они и элементарные.
Итак, производные элементарных функций:
| Название | Функция | Производная |
| Константа | f (x ) = C , C ∈ R | 0 (да-да, ноль!) |
| Степень с рациональным показателем | f (x ) = x n | n · x n − 1 |
| Синус | f (x ) = sin x | cos x |
| Косинус | f (x ) = cos x | − sin x (минус синус) |
| Тангенс | f (x ) = tg x | 1/cos 2 x |
| Котангенс | f (x ) = ctg x | − 1/sin 2 x |
| Натуральный логарифм | f (x ) = ln x | 1/x |
| Произвольный логарифм | f (x ) = log a x | 1/(x · ln a ) |
| Показательная функция | f (x ) = e x | e x (ничего не изменилось) |
Если элементарную функцию умножить на произвольную постоянную, то производная новой функции тоже легко считается:
(C · f )’ = C · f ’.
В общем, константы можно выносить за знак производной. Например:
(2x 3)’ = 2 · (x 3)’ = 2 · 3x 2 = 6x 2 .
Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать, делить — и многое другое. Так появятся новые функции, уже не особо элементарные, но тоже дифференцируемые по определенным правилам. Эти правила рассмотрены ниже.
Производная суммы и разности
Пусть даны функции f (x ) и g (x ), производные которых нам известны. К примеру, можно взять элементарные функции, которые рассмотрены выше. Тогда можно найти производную суммы и разности этих функций:
- (f + g )’ = f ’ + g ’
- (f − g )’ = f ’ − g ’
Итак, производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных. Слагаемых может быть больше. Например, (f + g + h )’ = f ’ + g ’ + h ’.
Строго говоря, в алгебре не существует понятия «вычитание». Есть понятие «отрицательный элемент». Поэтому разность f − g можно переписать как сумму f + (−1) · g , и тогда останется лишь одна формула — производная суммы.
f (x ) = x 2 + sin x; g (x ) = x 4 + 2x 2 − 3.
Функция f (x ) — это сумма двух элементарных функций, поэтому:
f ’(x ) = (x 2 + sin x )’ = (x 2)’ + (sin x )’ = 2x + cos x;
Аналогично рассуждаем для функции g (x ). Только там уже три слагаемых (с точки зрения алгебры):
g ’(x ) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · (x 2 + 1).
Ответ:
f
’(x
) = 2x
+ cos x;
g
’(x
) = 4x
· (x
2 + 1).
Производная произведения
Математика — наука логичная, поэтому многие считают, что если производная суммы равна сумме производных, то производная произведения strike ">равна произведению производных. А вот фиг вам! Производная произведения считается совсем по другой формуле. А именно:
(f · g ) ’ = f ’ · g + f · g ’
Формула несложная, но ее часто забывают. И не только школьники, но и студенты. Результат — неправильно решенные задачи.
Задача. Найти производные функций: f (x ) = x 3 · cos x; g (x ) = (x 2 + 7x − 7) · e x .
Функция f (x ) представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто:
f ’(x ) = (x 3 · cos x )’ = (x 3)’ · cos x + x 3 · (cos x )’ = 3x 2 · cos x + x 3 · (− sin x ) = x 2 · (3cos x − x · sin x )
У функции g (x ) первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется. Очевидно, первый множитель функции g (x ) представляет собой многочлен, и его производная — это производная суммы. Имеем:
g ’(x ) = ((x 2 + 7x − 7) · e x )’ = (x 2 + 7x − 7)’ · e x + (x 2 + 7x − 7) · (e x )’ = (2x + 7) · e x + (x 2 + 7x − 7) · e x = e x · (2x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x ) · e x = x (x + 9) · e x .
Ответ:
f
’(x
) = x
2 · (3cos x
− x
· sin x
);
g
’(x
) = x
(x
+ 9) · e
x
.
Обратите внимание, что на последнем шаге производная раскладывается на множители. Формально этого делать не нужно, однако большинство производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию. А значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее знаки и так далее. Для такого дела лучше иметь выражение, разложенное на множители.
Если есть две функции f (x ) и g (x ), причем g (x ) ≠ 0 на интересующем нас множестве, можно определить новую функцию h (x ) = f (x )/g (x ). Для такой функции тоже можно найти производную:
Неслабо, да? Откуда взялся минус? Почему g 2 ? А вот так! Это одна из самых сложных формул — без бутылки не разберешься. Поэтому лучше изучать ее на конкретных примерах.
Задача. Найти производные функций:
В числителе и знаменателе каждой дроби стоят элементарные функции, поэтому все, что нам нужно — это формула производной частного:
По традиции, разложим числитель на множители — это значительно упростит ответ:
Сложная функция — это не обязательно формула длиной в полкилометра. Например, достаточно взять функцию f (x ) = sin x и заменить переменную x , скажем, на x 2 + ln x . Получится f (x ) = sin (x 2 + ln x ) — это и есть сложная функция. У нее тоже есть производная, однако найти ее по правилам, рассмотренным выше, не получится.
Как быть? В таких случаях помогает замена переменной и формула производной сложной функции:
f ’(x ) = f ’(t ) · t ’, если x заменяется на t (x ).
Как правило, с пониманием этой формулы дело обстоит еще более печально, чем с производной частного. Поэтому ее тоже лучше объяснить на конкретных примерах, с подробным описанием каждого шага.
Задача. Найти производные функций: f (x ) = e 2x + 3 ; g (x ) = sin (x 2 + ln x )
Заметим, что если в функции f (x ) вместо выражения 2x + 3 будет просто x , то получится элементарная функция f (x ) = e x . Поэтому делаем замену: пусть 2x + 3 = t , f (x ) = f (t ) = e t . Ищем производную сложной функции по формуле:
f ’(x ) = f ’(t ) · t ’ = (e t )’ · t ’ = e t · t ’
А теперь — внимание! Выполняем обратную замену: t = 2x + 3. Получим:
f ’(x ) = e t · t ’ = e 2x + 3 · (2x + 3)’ = e 2x + 3 · 2 = 2 · e 2x + 3
Теперь разберемся с функцией g (x ). Очевидно, надо заменить x 2 + ln x = t . Имеем:
g ’(x ) = g ’(t ) · t ’ = (sin t )’ · t ’ = cos t · t ’
Обратная замена: t = x 2 + ln x . Тогда:
g ’(x ) = cos (x 2 + ln x ) · (x 2 + ln x )’ = cos (x 2 + ln x ) · (2x + 1/x ).
Вот и все! Как видно из последнего выражения, вся задача свелась к вычислению производной суммы.
Ответ:
f
’(x
) = 2 · e
2x
+ 3 ;
g
’(x
) = (2x
+ 1/x
) · cos (x
2 + ln x
).
Очень часто на своих уроках вместо термина «производная» я использую слово «штрих». Например, штрих от суммы равен сумме штрихов. Так понятнее? Ну, вот и хорошо.
Таким образом, вычисление производной сводится к избавлению от этих самых штрихов по правилам, рассмотренным выше. В качестве последнего примера вернемся к производной степени с рациональным показателем:
(x n )’ = n · x n − 1
Немногие знают, что в роли n вполне может выступать дробное число. Например, корень — это x 0,5 . А что, если под корнем будет стоять что-нибудь навороченное? Снова получится сложная функция — такие конструкции любят давать на контрольных работах и экзаменах.
Задача. Найти производную функции:
Для начала перепишем корень в виде степени с рациональным показателем:
f (x ) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
Теперь делаем замену: пусть x 2 + 8x − 7 = t . Находим производную по формуле:
f ’(x ) = f ’(t ) · t ’ = (t 0,5)’ · t ’ = 0,5 · t −0,5 · t ’.
Делаем обратную замену: t = x 2 + 8x − 7. Имеем:
f ’(x ) = 0,5 · (x 2 + 8x − 7) −0,5 · (x 2 + 8x − 7)’ = 0,5 · (2x + 8) · (x 2 + 8x − 7) −0,5 .
Наконец, возвращаемся к корням:
Формулы 3 и 5 докажите самостоятельно.
ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Применяя общий способ нахождения производной с помощью предела можно получить простейшие формулы дифференцирования. Пусть u=u(x),v=v(x) – две дифференцируемые функции от переменной x .
Формулы 1 и 2 докажите самостоятельно.
Доказательство формулы 3 .
Пусть y = u(x) + v(x). Для значения аргумента x +Δx имеем y (x +Δx )=u (x +Δx ) + v (x +Δx ).
Δy =y (x +Δx ) – y(x) = u(x +Δx) + v(x +Δx) – u(x) – v(x) = Δu +Δv .
Следовательно,
Доказательство формулы 4 .
Пусть y=u(x)·v(x). Тогда y (x +Δx )=u (x +Δx )·v (x +Δx ), поэтому
Δy =u (x +Δx )·v (x +Δx ) – u (x )·v (x ).
Заметим, что поскольку каждая из функций u и v дифференцируема в точке x , то они непрерывны в этой точке, а значит u (x +Δx )→u(x), v (x +Δx )→v(x) , при Δx →0.
Поэтому можем записать
На основании этого свойства можно получить правило дифференцирования произведения любого числа функций.
Пусть, например, y=u·v·w. Тогда,
y " = u "·(v· w) + u ·(v ·w) " = u "·v ·w + u ·(v "·w +v ·w ") = u "·v ·w + u ·v "·w + u·v ·w ".
Доказательство формулы 5 .
Пусть . Тогда
При доказательстве воспользовались тем, что v(x+ Δx) →v(x) при Δx →0.
Примеры .
ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Пусть y = f(u), а u = u (x ). Получаем функцию y , зависящую от аргумента x : y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией .
Областью определения функции y = f(u(x)) является либо вся область определения функции u =u (x ) либо та ее часть, в которой определяются значения u , не выходящие из области определения функции y = f(u) .
Операция "функция от функции" может проводиться не один раз, а любое число раз.
Установим правило дифференцирования сложной функции.
Теорема. Если функция u = u (x ) имеет в некоторой точке x 0 производную и принимает в этой точке значение u 0 = u (x 0 ), а функция y= f(u) имеет в точке u 0 производную y " u = f "(u 0 ), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x 0 тоже имеет производную, которая равна y " x = f "(u 0 )·u "(x 0 ), где вместо u должно быть подставлено выражение u = u (x ).
Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x .
Доказательство . При фиксированном значении х 0 будем иметь u 0 =u (x 0), у 0 =f(u 0 ). Для нового значения аргумента x 0 +Δx :
Δu = u (x 0 + Δx ) – u (x 0), Δy =f (u 0 +Δu ) – f (u 0 ).
Т.к. u – дифференцируема в точке x 0 , то u – непрерывна в этой точке. Поэтому при Δx →0 Δu →0. Аналогично при Δu →0 Δy →0.
По условию 
.
Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при Δu
→0)
где α→0 при Δu →0, а, следовательно, и при Δx →0.
Перепишем это равенство в виде:
Δy = y " u Δu +α·Δu .
Полученное равенство справедливо и при Δu =0 при произвольном α, так как оно превращается в тождество 0=0. При Δu =0 будем полагать α=0. Разделим все члены полученного равенства на Δx
.
По условию 
.
Поэтому, переходя к пределу при Δx
→0, получим y
" x =
y
" u ·u " x
. Теорема доказана.
Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от "внешней" функции f , рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от "внутренней" функции по независимой переменной.
Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной y " x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы.
По доказанному правилу имеем y " x = y " u ·u " x . Применяя эту же теорему для u " x получаем , т.е.
y " x = y " x · u " v · v " x = f " u (u )·u " v (v )·v " x (x ).
Примеры.
ПОНЯТИЕ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ
Начнем с примера. Рассмотрим функцию y= x 3 . Будем рассматривать равенство y = x 3 как уравнение относительно x . Это уравнение для каждого значения у определяет единственное значение x : . Геометрически это значит, что всякая прямая параллельная оси Ox пересекает график функции y= x 3 только в одной точке. Поэтому мы можем рассматривать x как функцию от y . Функция называется обратной по отношению к функции y= x 3 .
Прежде чем перейти к общему случаю, введем определения.
Функция y = f(x) называется возрастающей на некотором отрезке, если большему значению аргумента x из этого отрезка соответствует большее значение функции, т.е. если x 2 >x 1 , то f(x 2 ) > f(x 1 ).
Аналогично функция называется убывающей , если меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. еслих 2 < х 1 , то f(x 2 ) > f(х 1 ).
Итак, пусть дана возрастающая или убывающая функция y= f(x) , определенная на некотором отрезке [a ; b ]. Для определенности будем рассматривать возрастающую функцию (для убывающей все аналогично).
Рассмотрим два различных значения х 1 и х 2 . Пусть y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 ). Из определения возрастающей функции следует, что если x 1 <x 2 , то у 1 <у 2 . Следовательно, двум различным значениям х 1 и х 2 соответствуют два различных значения функции у 1 и у 2 . Справедливо и обратное, т.е. если у 1 <у 2 , то из определения возрастающей функции следует, чтоx 1 <x 2 . Т.е. вновь двум различным значениям у 1 и у 2 соответствуют два различных значенияx 1 и x 2 . Т.о., между значениями x и соответствующими им значениями y устанавливается взаимно однозначное соответствие, т.е. уравнение y=f(x) для каждого y (взятого из области значений функции y=f(x)) определяет единственное значение x , и можно сказать, что x есть некоторая функция аргумента y : x= g(у) .
Эта функция называется обратной для функции y=f(x) . Очевидно, что и функция y=f(x) является обратной для функции x=g(у) .
Заметим, что обратная функция x=g(y) находится путем решения уравнения y=f(x) относительно х .
Пример. Пусть дана функция y = e x . Эта функция возрастает при –∞ < x <+∞. Она имеет обратную функцию x = lny . Область определения обратной функции 0 < y < + ∞.
Сделаем несколько замечаний.
Замечание 1. Если возрастающая (или убывающая) функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a ; b ], причем f(a)=c, f(b)=d , то обратная функция определена и непрерывна на отрезке [c ; d ].
Замечание 2. Если функция y=f(x) не является ни возрастающей, ни убывающей на некотором интервале, то она может иметь несколько обратных функций.
Пример. Функция y=x 2 определена при –∞<x <+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤x <+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <x ≤ 0 функция – убывает и обратная для нее .
Замечание 3. Если функции y=f(x) и x=g(y) являются взаимно обратными, то они выражают одну и ту же связь между переменными x и y . Поэтому графикомих является одна и та же кривая. Но если аргумент обратной функции мы обозначим снова через x , а функцию через y и построим их в одной системе координат, то получим уже два различных графика. Легко заметить, что графики будут симметричны относительно биссектрисы 1-го координатного угла.
ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ
Докажем теорему, позволяющую находить производную функции y=f(x) , зная производную обратной функции.
Теорема. Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y ), которая в некоторой точке у 0 имеет производную g "(v 0 ), отличную от нуля, то в соответствующей точке x 0 =g (x 0 ) функция y=f(x) имеет производную f "(x 0 ), равную , т.е. справедлива формула.
Доказательство . Т.к. x=g(y) дифференцируема в точке y 0 , то x=g(y) непрерывна в этой точке, поэтому функция y=f(x) непрерывна в точке x 0 =g (y 0 ). Следовательно, при Δx →0 Δy →0.
Покажем, что 
.
Пусть . Тогда по свойству предела 
.
Перейдем в этом равенстве к пределу при Δy
→0. Тогда Δx
→0 и α(Δx)→0, т.е. .
Следовательно,
,
что и требовалось доказать.
Эту формулу можно записать в виде .
Рассмотрим применение этой теоремы на примерах.
Доказательство и вывод формул производной экспоненты (e в степени x) и показательной функции (a в степени x). Примеры вычисления производных от e^2x, e^3x и e^nx. Формулы производных высших порядков.
Производная экспоненты равна самой экспоненте (производная e в степени x равна e в степени x):
(1)
(e x )′
= e x
.
Производная показательной функции с основанием степени a
равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм от a
:
(2)
.
Вывод формулы производной экспоненты, e в степени x
Экспонента - это показательная функция, у которой основание степени равно числу e
,
которое является следующим пределом:
.
Здесь может быть как натуральным, так и действительным числом. Далее мы выводим формулу (1) производной экспоненты.
Вывод формулы производной экспоненты
Рассмотрим экспоненту, e
в степени x
:
y = e x
.
Эта функция определена для всех .
Найдем ее производную по переменной x
.
По определению, производная является следующим пределом:
(3)
.
Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам понадобятся следующие факты:
А)
Свойство экспоненты :
(4)
;
Б)
Свойство логарифма :
(5)
;
В)
Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
(6)
.
Здесь - некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.
Г)
Значение второго замечательного предела:
(7)
.
Применяем эти факты к нашему пределу (3). Используем свойство (4):
;
.
Сделаем подстановку .
Тогда ;
.
В силу непрерывности экспоненты,
.
Поэтому при ,
.
В результате получаем:
.
Сделаем подстановку .
Тогда .
При ,
.
И мы имеем:
.
Применим свойство логарифма (5):
.
Тогда
.
Применим свойство (6). Поскольку существует положительный предел и логарифм непрерывен, то:
.
Здесь мы также воспользовались вторым замечательным пределом (7). Тогда
.
Тем самым мы получили формулу (1) производной экспоненты.
Вывод формулы производной показательной функции
Теперь выведем формулу (2) производной показательной функции с основанием степени a
.
Мы считаем, что и .
Тогда показательная функция
(8)
Определена для всех .
Преобразуем формулу (8). Для этого воспользуемся свойствами показательной функции
и логарифма
.
;
.
Итак, мы преобразовали формулу (8) к следующему виду:
.
Производные высших порядков от e в степени x
Теперь найдем производные высших порядков. Сначала рассмотрим экспоненту:
(14)
.
(1)
.
Мы видим, что производная от функции (14) равна самой функции (14). Дифференцируя (1), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.
Отсюда видно, что производная n-го порядка также равна исходной функции:
.
Производные высших порядков показательной функции
Теперь рассмотрим показательную функцию с основанием степени a
:
.
Мы нашли ее производную первого порядка:
(15)
.
Дифференцируя (15), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.
Мы видим, что каждое дифференцирование приводит к умножению исходной функции на .
Поэтому производная n-го порядка имеет следующий вид:
.